В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 все рёбра равны 6. На рёбрах AA_1 и CC_1 отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 2, CN = 1. а) Докажите, что плоскость (MNB_1) разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны. б) Найдите объём тетраэдра MNBB_1.

а) Плоскость MNB_1 делит призму на два многогранника — B_1A_1C_1NM и B_1MNBAC. В условии нас просят сравнить их объёмы. Для этого сначала вычислим объём всей призмы. Так как ABCA_1B_1C_1 — правильная призма, то её объём вычисляется по формуле V_(ABCA_1B_1C_1) = S_(ABC) * AA_1 = (AB^2sqrt(3))/(4)* AA_1 = (6* 6sqrt(3))/(4)* 6 = 54sqrt(3). Тогда найдём объём многогранника B_1A_1C_1NM — пирамиды с основанием A_1C_1NM и вершиной B_1. Пусть B_1H_1 — высота правильного треугольника A_1B_1C_1. Так как CC_1 — высота призмы, то CC_1 (A_1B_1C_1), а значит CC_1 B_1H_1. Тогда, так как B_1H_1 A_1C_1, по построению, и B_1H_1 CC_1, то B_1H_1 (ACC_1). Следовательно, объём пирамиды B_1A_1C_1NM равен V_(B_1A_1C_1NM) = (1)/(3)S_(A_1C_1NM)* B_1H_1. B_1H_1 — высота правильного треугольника A_1B_1C_1 со стороной 6, значит, B_1H_1 = (6sqrt(3))/(2) = 3sqrt(3). Найдём площадь основания A_1C_1NM. Заметим, что A_1M C_1N, так как это боковые рёбра правильной призмы. По условию AM = 2 и CN = 1, тогда A_1M = AA_1 - AM = 6 - 2 = 4 и C_1N = CC_1 - CN = 6 - 1 = 5. Значит, мы можем найти площадь трапеции A_1C_1NM: S_(A_1C_1NM) = (A_1M + C_1N)/(2)* A_1C_1 = (4 + 5)/(2)* 6 = 27. Тогда теперь мы можем найти объёмы многогранников B_1A_1C_1NM и B_1MNBAC: V_(B_1A_1C_1NM) = (1)/(3)S_(A_1C_1NM)* B_1H_1 = (1)/(3)* 27* 3sqrt(3) = 27sqrt(3) => V_(B_1MNBAC) = V_(ABCA_1B_1C_1) - V_(B_1A_1C_1NM) = 54sqrt(3) - 27sqrt(3) = 27sqrt(3). Значит, объёмы многогранников B_1A_1C_1NM и B_1MNBAC равны. б) Заметим, что V_(B_1MNBAC) = V_(MNBB_1) + V_(BACNM). Аналогично предыдущему пункту мы можем найти объём пирамиды BACNM: V_(BACNM) = (1)/(3)S_(ACNM)* BH. BH — высота правильного треугольника ABC со стороной 6, тогда BH = 3sqrt(3). Найдём площадь основания ACNM. Заметим, что AM CN, так как это боковые рёбра правильной призмы. По условию AM = 2 и CN = 1, тогда площадь трапеции ACNM равна S_(ACNM) = (AM + CN)/(2)* AC = (2 + 1)/(2)* 6 = 9. Так как CC_1 — высота призмы, то CC_1 (ABC), а значит CC_1 BH. Тогда, так как BH AC, по построению, и BH CC_1, то BH (ACC_1). Теперь найдём объём пирамиды BACNM: V_(BACNM) = (1)/(3)S_(ACNM)* BH = (1)/(3)* 9* 3sqrt(3) = 9sqrt(3). Следовательно, объём тетраэдра MNBB_1 равен V_(MNBB_1) = V_(B_1MNBAC) - V_(BACNM) = 27sqrt(3) - 9sqrt(3) = 18sqrt(3).

б) \(18\sqrt{3}\)