Задача №18389

В правильной треугольной призме $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ все рёбра равны 6. На рёбрах $A{A}_1$ и $C{C}_1$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $AM=2\text{,}$ $CN=1\text{.}$

а) Докажите, что плоскость $(MN{B}_1)$ разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.

б) Найдите объём тетраэдра $MNB{B}_1\text{.}$

а) Плоскость $MN{B}_1$ делит призму на два многогранника — $B_1{A}_1{C}_{1}NM$ и $B_{1}MNBAC\text{.}$ В условии нас просят сравнить их объёмы. Для этого сначала вычислим объём всей призмы. Так как $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ — правильная призма, то её объём вычисляется по формуле

$$V_{ABC{A}_1{B}_1{C}_1}=S_{ABC}\cdot A{A}_1=\frac{A{B}^2\sqrt{3}}{4}\cdot A{A}_1=\frac{6\cdot 6\sqrt{3}}{4}\cdot 6=54\sqrt{3}.$$

Тогда найдём объём многогранника $B_1{A}_1{C}_{1}NM$ — пирамиды с основанием $A_1{C}_{1}NM$ и вершиной $B_1\text{.}$ Пусть $B_1{H}_1$ — высота правильного треугольника $A_1{B}_1{C}_1\text{.}$ Так как $C{C}_1$ — высота призмы, то $C{C}_1\perp (A_1{B}_1{C}_1)\text{,}$ а значит $C{C}_1\perp B_1{H}_1\text{.}$ Тогда, так как $B_1{H}_1\perp A_1{C}_1\text{,}$ по построению, и $B_1{H}_1\perp C{C}_1\text{,}$ то $B_1{H}_1\perp (AC{C}_1)\text{.}$ Следовательно, объём пирамиды $B_1{A}_1{C}_{1}NM$ равен

$$V_{B_1{A}_1{C}_{1}NM}=\frac{1}{3}{S}_{A_1{C}_{1}NM}\cdot B_1{H}_1.$$

$B_1{H}_1$ — высота правильного треугольника $A_1{B}_1{C}_1$ со стороной 6, значит, $B_1{H}_1=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$ Найдём площадь основания $A_1{C}_{1}NM\text{.}$ Заметим, что $A_{1}M\parallel C_{1}N\text{,}$ так как это боковые рёбра правильной призмы. По условию $AM=2$ и $CN=1\text{,}$ тогда

$$A_{1}M=A{A}_1-AM=6-2=4\text{и}{C}_{1}N=C{C}_1-CN=6-1=5.$$

Значит, мы можем найти площадь трапеции $A_1{C}_{1}NM\text{:}$

$$S_{A_1{C}_{1}NM}=\frac{A_{1}M+C_{1}N}{2}\cdot A_1{C}_1=\frac{4+5}{2}\cdot 6=27.$$

Тогда теперь мы можем найти объёмы многогранников $B_1{A}_1{C}_{1}NM$ и $B_{1}MNBAC\text{:}$

$$V_{B_1{A}_1{C}_{1}NM}=\frac{1}{3}{S}_{A_1{C}_{1}NM}\cdot B_1{H}_1=\frac{1}{3}\cdot 27\cdot 3\sqrt{3}=27\sqrt{3}$$ $$\Rightarrow V_{B_{1}MNBAC}=V_{ABC{A}_1{B}_1{C}_1}-V_{B_1{A}_1{C}_{1}NM}=54\sqrt{3}-27\sqrt{3}=27\sqrt{3}.$$

Значит, объёмы многогранников $B_1{A}_1{C}_{1}NM$ и $B_{1}MNBAC$ равны.

б) Заметим, что

$$V_{B_{1}MNBAC}=V_{MNB{B}_1}+V_{BACNM}.$$

Аналогично предыдущему пункту мы можем найти объём пирамиды $BACNM\text{:}$

$$V_{BACNM}=\frac{1}{3}{S}_{ACNM}\cdot BH.$$

$BH$ — высота правильного треугольника $ABC$ со стороной 6, тогда $BH=3\sqrt{3}.$ Найдём площадь основания $ACNM\text{.}$ Заметим, что $AM\parallel CN\text{,}$ так как это боковые рёбра правильной призмы. По условию $AM=2$ и $CN=1\text{,}$ тогда площадь трапеции $ACNM$ равна

$$S_{ACNM}=\frac{AM+CN}{2}\cdot AC=\frac{2+1}{2}\cdot 6=9.$$

Так как $C{C}_1$ — высота призмы, то $C{C}_1\perp (ABC)\text{,}$ а значит $C{C}_1\perp BH\text{.}$ Тогда, так как $BH\perp AC\text{,}$ по построению, и $BH\perp C{C}_1\text{,}$ то $BH\perp (AC{C}_1)\text{.}$ Теперь найдём объём пирамиды $BACNM\text{:}$

$$V_{BACNM}=\frac{1}{3}{S}_{ACNM}\cdot BH=\frac{1}{3}\cdot 9\cdot 3\sqrt{3}=9\sqrt{3}.$$

Следовательно, объём тетраэдра $MNB{B}_1$ равен

$$V_{MNB{B}_1}=V_{B_{1}MNBAC}-V_{BACNM}=27\sqrt{3}-9\sqrt{3}=18\sqrt{3}.$$