В треугольнике ABC угол ABC равен 60^. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M. а) Докажите, что отрезок BM не более утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности. б) Найдите sin BMC, если известно, что отрезок BM в 2,8 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.

а) Пусть O — центр окружности, N — точка касания со стороной BC. Тогда BO — отрезок биссектрисы угла ABC, OM = ON = r — радиусы. Следовательно, OBN = 30^, откуда BO = 2ON = 2r. Если O not in BM, то по неравенству треугольника BM < BO + OM = 2r + r = 3r. Если O in BM, то BM = BO + OM = 3r. Следовательно, по итогу BM 3r. Что и требовалось доказать. б) Рассмотрим BOM: BM = 2,8r, BO = 2r, OM = r. Тогда по теореме косинусов для этого треугольника имеем cos BMO = (BM^2 + MO^2 - BO^2)/(2BM * MO) = (121)/(140). Заметим, что на самом деле возможны два случая. 1) Если MBC > OBC, то sin BMC = sin(90^ + BMO) = cos BMO = (121)/(140). 2) Если MBC < OBC, то sin BMC = sin(90^ - BMO) = cos BMO = (121)/(140). То есть в обоих случаях sin BMC = (121)/(140).

а) доказательство; б) \(\sin\angle BMC = \dfrac{121}{140}\)