В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 все рёбра равны 8. На рёбрах AA_1 и CC_1 отмечены точки M и N соответственно, причём AM=3, CN=1. а) Докажите, что плоскость (MNB_1) разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны. б) Найдите объём тетраэдра MNBB_1.

а) Плоскость MNB_1 делит призму на два многогранника — B_1A_1C_1NM и B_1MNBAC. В условии нас просят сравнить их объёмы. Для этого сначала вычислим объём всей призмы. Так как ABCA_1B_1C_1 — правильная призма, то её объём вычислим по формуле: V_(ABCA_1B_1C_1)=S_(ABC)* AA_1=(AB^2sqrt(3))/(4)* AA_1=(8* 8sqrt(3))/(4)* 8=128sqrt(3). Тогда найдём объём многогранника B_1A_1C_1NM — пирамиды с основанием A_1C_1NM и вершиной B_1. Пусть B_1H_1 — высота правильного треугольника A_1B_1C_1. Тогда, так как ABCA_1B_1C_1 является правильной призмой, высота B_1H_1(A_1C_1N). Следовательно, объём пирамиды B_1A_1C_1NM: V_(B_1A_1C_1NM)=(1)/(3)S_(A_1C_1NM)* B_1H_1. B_1H_1 — высота правильного треугольника A_1B_1C_1 со стороной 8, значит, B_1H_1=(8sqrt(3))/(2)=4sqrt(3). Найдём площадь основания A_1C_1NM. Заметим, что B_1 C_1N, так как это боковые рёбра правильной призмы. По условию AM=3 и CN=1, тогда A_1M=AA_1-AM=8-3=5 и C_1N=CC_1-CN=8-1=7, значит, мы можем найти площадь трапеции A_1C_1NM: S_(A_1C_1NM)=(A_1M+C_1N)/(2)* A_1C_1=(5+7)/(2)* 8=48. Теперь мы можем найти объём многогранника B_1A_1C_1NM: V_(B_1A_1C_1NM)=(1)/(3)S_(A_1C_1NM)* B_1H_1=(1)/(3)* 48* 4sqrt(3)=64sqrt(3) => => V_(B_1MNBAC)=V_(ABCA_1B_1C_1)-V_(B_1A_1C_1NM)=128sqrt(3)-64sqrt(3)=64sqrt(3). Значит, объёмы многогранников B_1A_1C_1NM и B_1MNBAC равны. б) Заметим, что V_(B_1MNBAC)=V_(MNBB_1)+V_(BACNM). Аналогично предыдущему пункту мы можем найти объём пирамиды BACNM: V_(BACNM)=(1)/(3)S_(ACNM)* BH. BH — высота правильного треугольника ABC со стороной 8, тогда BH=4sqrt(3). Найдём площадь основания ACNM. Заметим, что AM CN, так как это боковые рёбра правильной призмы. По условию AM=3 и CN=1, тогда площадь трапеции ACNM равна: S_(ACNM)=(AM+CN)/(2)* AC=(3+1)/(2)* 8=16. Теперь найдём объём пирамиды BACNM: V_(BACNM)=(1)/(3)S_(ACNM)* BH=(1)/(3)* 16* 4sqrt(3)=(64sqrt(3))/(3). Следовательно, объём тетраэдра MNBB_1 равен: V_(MNBB_1)=V_(B_1MNBAC)-V_(BACNM)=64sqrt(3)-(64sqrt(3))/(3)=(64sqrt(3)(3-1))/(3)=(128sqrt(3))/(3).

б) \(\dfrac{128\sqrt{3}}{3}\)