Задача №18380

а) Данное уравнение равносильно

$${\left(9^{-2}\right)}^{\cos x}=9^{2\sin 2x}$$ $$9^{-2\cos x}=9^{2\sin 2x}$$ $$-2\cos x=2\sin 2x.$$

По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x\text{,}$ следовательно,

$$4\sin x\cos x+2\cos x=0$$ $$\cos x(2\sin x+1)=0$$ $$[\begin{array}{l}\cos x=0\\ \sin x=-\frac{1}{2}\end{array}$$

Первое уравнение совокупности имеет решения $x=\frac{\pi }{2}+\pi k\text{,}$ $k\in \mathbb{Z}\text{.}$ Второе уравнение совокупности имеет решения $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ и $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k\text{,}$ где $k\in \mathbb{Z}\text{.}$

б) Отберём корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]\text{,}$ и концы этой дуги, и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

Следовательно, на отрезке $\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]$ лежат точки $-\frac{3\pi }{2}\text{,}$ $-\frac{5\pi }{6}\text{,}$ $-\frac{\pi }{2}\text{.}$