Задача №18370

Запишем ограничения логарифмов:

$$\{\begin{array}{l}\frac{3}{x}+2>0\\ x+3>0\\ \frac{x+4}{x^2}>0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}\frac{2x+3}{x}>0\\ x>-3\\ \frac{x+4}{x^2}>0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}x>0\\ x<-\frac{3}{2}\end{array}\\ x>-3\\ x\ne 0\\ x>-4\end{array}$$

Изобразим полученную систему на числовой прямой и получаем:

$$x\in \left(-3;-\frac{3}{2}\right)\cup (0;+\infty ).$$

Преобразуем исходное неравенство по ограничениям:

$${\log }_2\frac{3+2x}{x(x+3)}⩽{\log }_2\frac{x+4}{x^2},$$ $$\frac{3+2x}{x(x+3)}⩽\frac{x+4}{x^2}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x(3+2x)}{x^2(x+3)}-\frac{(x+3)(x+4)}{x^2(x+3)}⩽0,$$ $$\frac{3x+2x^2-x^2-7x-12}{x^2(x+3)}⩽0,$$ $$\frac{x^2-4x-12}{x^2(x+3)}⩽0,$$ $$\frac{(x+2)(x-6)}{x^2(x+3)}⩽0.$$

Решим полученное неравенство методом интервалов: на числовой прямой с точками $-3\text{,}$ $-2\text{,}$ $0\text{,}$ $6$ знаки $-,+,-,-,+\text{;}$ решение даёт промежутки, где выражение $⩽0\text{.}$
Пересечём полученные значения $x$ с ограничениями логарифмов.
Итого:

$$x\in \left[-2;-\frac{3}{2}\right)\cup (0;6].$$