Задача №18369

а) Данное уравнение равносильно

$${\left(7^{-2}\right)}^{\sin x}=7^{2\sin 2x}$$ $$7^{-2\sin x}=7^{2\sin 2x}$$ $$-2\sin x=2\sin 2x.$$

По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x\text{,}$ следовательно,

$$4\sin x\cos x+2\sin x=0$$ $$2\sin x(2\cos x+1)=0$$ $$[\begin{array}{l}\sin x=0\\ \cos x=-\frac{1}{2}\end{array}$$

Первое уравнение совокупности имеет решения $x=\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$ Второе уравнение совокупности имеет решения $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$

б) Отберём корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $\left[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right]\text{,}$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

Следовательно, на отрезке $\left[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right]$ лежат точки $-4\pi ;-\frac{10\pi }{3};-3\pi ;-\frac{8\pi }{3}\text{.}$