Задача №18339

а) Можно ли представить число $2014$ в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?

б) Можно ли представить число $199$ в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?

в) Найдите наименьшее число, которое можно представить в виде суммы шести различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова.

а) Возьмём числа $2006$ и $8\text{.}$ Сумма цифр обоих чисел равна $8\text{,}$ при этом $2006+8=2014\text{.}$ Значит, такое представление существует.

б) Предположим, что существуют числа $A$ и $B\text{,}$ такие, что $A+B=199$ и сумма цифр числа $A$ равна сумме цифр числа $B\text{.}$ Если сложить эти числа в столбик, то получим:

\begin{array}{r} \displaystyle \ldots\,\ldots\,\ldots\\ \displaystyle +\ \ldots\,\ldots\,\ldots\\ \displaystyle \hline 1\ 9\ 9 \end{array}

Заметим, что тогда сумма последних цифр этих чисел должна заканчиваться на $9\text{,}$ но сумма цифр не может быть больше $18\text{,}$ поэтому она в точности равна $9\text{.}$ То есть при сложении цифр перехода по разряду не будет.

Тогда сумма цифр в разряде десятков также равна $9\text{,}$ так как не превосходит $18$ и заканчивается на $9$ (если какое-то из чисел $A$ или $B$ однозначное, то можно считать, что в разряде десятков стоит $0$). То есть при сложении цифр десятков перехода по разряду также не будет.

Это означает, что сумма цифр в разряде сотен равна $1$ (если какое-то из чисел $A$ или $B$ трёхзначное, то можно считать, что в разряде сотен стоит $0$).

Тогда сумма всех цифр в числах $A$ и $B$ равна $1+9+9=19\text{.}$ Но $19$ — нечётно, поэтому $A$ и $B$ не могут иметь одинаковую сумму цифр.

в) Все числа различны: $x_1<x_2<\dots <x_6\text{.}$ Тогда так как при одинаковой сумме цифр у этих чисел равны, то равны и остатки при делении на $9\text{,}$ то есть:

$$x_1\equiv x_2\equiv x_3\equiv \dots \equiv x_6$$

Так как все числа различны, а отличаются должны на числа, кратные $9\text{,}$ то имеем:

$$\begin{array}{rl}{x}_2& ⩾x_1+9\\ x_3& ⩾x_1+9⩾x_1+18\\ & ⋮\\ x_6& ⩾x_1+45\end{array}$$

Тогда для суммы всех чисел получим:

$$x_1+x_2+\dots +x_6⩾x_1+x_1+9+\dots +x_1+45=6x_1+135.$$

Выполним перебор снизу по наименьшему из чисел:

$\bullet$ Пусть $x_1=1\text{.}$ Рассмотрим сумму наименьших чисел с суммой цифр, равной $1\text{:}$

$$1+10+100+1000+10000+100000=111111.$$

$\bullet$ Пусть $x_1=2\text{.}$ Рассмотрим сумму наименьших чисел с суммой цифр, равной $2\text{:}$

$$2+11+20+101+110+200=444.$$

$\bullet$ Пусть $x_1=3\text{.}$ Рассмотрим сумму наименьших чисел с суммой цифр, равной $3\text{:}$

$$3+12+21+30+102+111=279.$$

$\bullet$ Пусть $x_1=5\text{.}$ Рассмотрим числа с суммой цифр, равной $5\text{:}$

$$5+14+23+32+41+50=165.$$

Меньшего значения добиться нельзя. Наименьшее число равно $165\text{.}$