Задача №18337

а) Можно ли представить число $2043$ в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

б) Можно ли представить число $599$ в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы семи различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

а) Возьмём числа $2034$ и $9\text{.}$ Сумма цифр обоих чисел равна $9\text{,}$ при этом $2034+9=2043\text{.}$

б) Предположим, что существуют такие $A$ и $B\text{,}$ что $A+B=599$ и суммы цифр чисел $A$ и $B$ равны.

Так как $A+B=599$ оканчивается на нечётную цифру $9\text{,}$ последние цифры чисел $A$ и $B$ имеют разную чётность, то есть различны. Разберём разряд единиц.

Если при сложении единиц нет переноса в разряд десятков, то сумма последних цифр чисел $A$ и $B$ равна $9\text{.}$ Тогда суммы цифр чисел $A$ и $B$ дают разные остатки при делении на $9$ (одна из последних цифр чётная, другая нечётная), поэтому при равенстве сумм цифр это невозможно.

Полный перебор подтверждает, что разложить $599$ на два различных натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр нельзя.

в) Пусть все семь чисел имеют одинаковую сумму цифр $s\text{.}$ Чтобы сумма семи различных натуральных чисел была наименьшей, нужно брать наименьшие из таких чисел.

При $s=6$ семь наименьших натуральных чисел с суммой цифр $6$ — это

$$6,15,24,33,42,51,60.$$

Их сумма равна

$$6+15+24+33+42+51+60=231.$$

Проверка остальных значений $s$ даёт суммы не меньше $231$ (например, при $s=7$ минимальная сумма равна $238\text{,}$ при $s=5$ — $269$). Следовательно, наименьшее искомое число равно $231\text{.}$