Задача №18336

Восемь различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего 1.

а) Может ли сумма всех восьми чисел быть равна 65?

б) Может ли сумма всех восьми чисел быть равна 62?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма всех восьми чисел?

а) Да, может, например, если среди $8$ чисел будет $1\text{,}$ а остальные $7$ чисел будут простыми:

$$1+2+3+5+7+11+13+23=65.$$

б) Заметим, что среди данных чисел может быть максимум одно чётное число (иначе два чётных числа имели бы общий делитель $2$). Если оно есть, то остальные $7$ чисел нечётны. В этом случае сумма всех $8$ чисел будет нечётна. Противоречие, так как $62$ чётно. Значит, чётного числа нет. Тогда все $8$ чисел нечётны. Рассмотрим сумму $8$ наименьших нечётных чисел:

$$1+3+5+7+9+11+13+15=64>62.$$

Значит, сумма восьми различных нечётных чисел не меньше $64\text{,}$ и потому не может быть равна $62\text{.}$

в) Среди чисел может быть не более одного чётного. Чтобы сумма была наименьшей, возьмём одно чётное число и семь нечётных, попарно взаимно простых. Подходит набор

$$1,2,3,5,7,11,13,17,$$

все числа которого попарно взаимно просты, а их сумма равна

$$1+2+3+5+7+11+13+17=59.$$

Меньшего значения добиться нельзя, поэтому наименьшая возможная сумма равна $59\text{.}$