Задача №18335

Семь различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего 1.

а) Может ли сумма всех семи чисел быть равна 50?

б) Может ли сумма всех семи чисел быть равна 47?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма всех семи чисел?

а) Да, может, например, если среди семи чисел будет 1, а остальные шесть чисел будут простыми:

$$1+2+3+5+7+13+19=50.$$

б) Заметим, что среди данных чисел может быть максимум одно чётное число. Если оно есть, то остальные шесть чисел нечётны. В этом случае сумма семи чисел будет чётна. Противное:

$$1+3+5+7+11+13+19=47.$$

Значит, сумма семи различных натуральных чисел, не имеющих общего делителя, большего 1, не может быть равна 47.

Уже знаем, что среди данных чисел может быть максимум одно чётное число. При этом оно тоже должно быть, так как в любом примере из 7 нечётных чисел нельзя заменить наибольшее нечётное число на 2 и получить сумму меньше, не нарушив свойства взаимной простоты.

Среди данных чисел может быть максимум одно чётное, кратное 3. При этом это чётное число, будь оно в наборе, должно быть равно 2, в противном случае сумму можно сделать меньше. Если же число, кратное 3, есть в наборе — это 3, в противном случае сумму можно сделать меньше.

Пусть наименьшее достижимое в наборе число будет

$$a_1<a_2<a_3<a_4<a_5<a_6<a_7.$$

Тогда $a_1=1\text{,}$ $a_2=2\text{,}$ так как чётные числа брать в набор нельзя. Аналогично $a_3⩾3\text{,}$ $a_4⩾5\text{,}$ $a_5⩾7\text{,}$ так как чётные числа брать в набор нельзя. Далее $a_6$ и $a_7$ — наименьшие из чисел, не кратных 2 и не кратных 3, то есть 5, 7, 11, 13 и т. д. равны

$$1+2+3+5+7+11+13=42.$$