Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система cases 5 * 2^(|x|) + 6|x| + 7 = 5y + 6x^2 + a, x^2 + y^2 = 1 cases имеет единственное решение.

Заметим, что второе уравнение системы задаёт окружность, которая симметрична относительно оси ординат, так как при замене x на -x уравнение не меняется. При этом данная окружность имеет радиус 1, следовательно, она определена при x in [-1; 1]. Рассмотрим первое уравнение системы. Заметим, что график этого уравнения также симметричен относительно оси ординат, так как при замене x на -x уравнение не меняется. Таким образом, вся система симметрична относительно оси ординат: если пара (x_0; y_0) является решением системы, то и пара (-x_0; y_0) также является решением. Следовательно, единственное решение возможно лишь при x_0 = -x_0, то есть при x = 0. Подставим x = 0. Из второго уравнения получаем y^2 = 1, то есть y = 1 или y = -1. Первое уравнение при x = 0 принимает вид 5 * 2^(0) + 6 * 0 + 7 = 5y + 6 * 0 + a, 12 = 5y + a. Чтобы система имела решение с x = 0, необходимо a = 12 - 5y: при y = 1 получаем a = 7, при y = -1 получаем a = 17. Проверим, что при a = 7 решение единственно. Подставив выражение y = +-sqrt(1 - x^2) в первое уравнение, можно убедиться, что точка x = 0, y = 1 — единственное решение системы (других пересечений нет). При a = 17, помимо x = 0, y = -1, появляются дополнительные решения при x = +- 1, поэтому решение не является единственным. Следовательно, единственное решение система имеет только при a = 7.

\(a \in \{7\}\)