Задача №18334

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых система

$$\{\begin{array}{l}5\cdot 2^{|x|}+6|x|+7=5y+6x^2+a,\\ x^2+y^2=1\end{array}$$

имеет единственное решение.

Заметим, что второе уравнение системы задаёт окружность, которая симметрична относительно оси ординат, так как при замене $x$ на $-x$ уравнение не меняется. При этом данная окружность имеет радиус $1\text{,}$ следовательно, она определена при $x\in [-1;1]\text{.}$

Рассмотрим первое уравнение системы. Заметим, что график этого уравнения также симметричен относительно оси ординат, так как при замене $x$ на $-x$ уравнение не меняется.

Таким образом, вся система симметрична относительно оси ординат: если пара $(x_0;y_0)$ является решением системы, то и пара $(-x_0;y_0)$ также является решением. Следовательно, единственное решение возможно лишь при $x_0=-x_0\text{,}$ то есть при $x=0\text{.}$

Подставим $x=0\text{.}$ Из второго уравнения получаем $y^2=1\text{,}$ то есть $y=1$ или $y=-1\text{.}$ Первое уравнение при $x=0$ принимает вид

$$5\cdot 2^0+6\cdot 0+7=5y+6\cdot 0+a,12=5y+a.$$

Чтобы система имела решение с $x=0\text{,}$ необходимо $a=12-5y\text{:}$ при $y=1$ получаем $a=7\text{,}$ при $y=-1$ получаем $a=17\text{.}$

Проверим, что при $a=7$ решение единственно. Подставив выражение $y=\pm \sqrt{1-x^2}$ в первое уравнение, можно убедиться, что точка $x=0,y=1$ — единственное решение системы (других пересечений нет). При $a=17\text{,}$ помимо $x=0,y=-1\text{,}$ появляются дополнительные решения при $x=\pm 1\text{,}$ поэтому решение не является единственным.

Следовательно, единственное решение система имеет только при $a=7\text{.}$