Найдите все значения параметра a, при каждом их которых система cases 2^(|x|+3) + 7|x| + 1 = 8y + 7x^2 + a, x^2 + y^2 = 1 cases имеет единственное решение.

Заметим, что второе уравнение системы задаёт окружность, которая симметрична относительно оси ординат, так как при замене x на -x уравнение не меняется. При этом данная окружность имеет радиус 1, следовательно, она определена при x in [-1;1]. Рассмотрим первое уравнение системы. Левая часть 2^(|x|+3) + 7|x| + 1 и слагаемое 7x^2 в правой части зависят только от |x|, поэтому первое уравнение, а значит и вся система, также симметрично относительно оси ординат: при замене x на -x уравнение не меняется. Из высказанного получаем, что если график первого уравнения имеет точку пересечения с окружностью при x in (0;1], то существует и точка пересечения при x in [-1;0). Значит, чтобы система имела единственное решение, точка пересечения графиков должна иметь абсциссу x = 0. Подставим x = 0 в систему. Из второго уравнения y^2 = 1, то есть y = 1 или y = -1. Первое уравнение принимает вид 2^(3) + 1 = 8y + a, 9 = 8y + a. При y = 1 получаем a = 1; при y = -1 получаем a = 17. Проверим единственность. Выразим из второго уравнения точки окружности через параметр и рассмотрим функцию g = 2^(|x|+3) + 7|x| + 1 - 8y - 7x^2, x^2 + y^2 = 1, тогда первое уравнение принимает вид g = a. Наименьшее значение g на окружности равно 1 и достигается ровно в одной точке (0;1). Поэтому при a = 1 прямая g = a касается g в её единственном минимуме — система имеет ровно одно решение (0;1). При a = 17 (точка (0;-1)) появляются две симметричные точки пересечения (1;0) и (-1;0), то есть решение не единственно. При a > 1 решений два, при a < 1 решений нет. Значит, система имеет единственное решение только при a = 1.

\(a \in \{1\}\)