Задача №18333

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом их которых система

$$\{\begin{array}{l}{2}^{|x|+3}+7|x|+1=8y+7x^2+a,\\ x^2+y^2=1\end{array}$$

имеет единственное решение.

Заметим, что второе уравнение системы задаёт окружность, которая симметрична относительно оси ординат, так как при замене $x$ на $-x$ уравнение не меняется. При этом данная окружность имеет радиус $1\text{,}$ следовательно, она определена при $x\in [-1;1]\text{.}$

Рассмотрим первое уравнение системы. Левая часть $2^{|x|+3}+7|x|+1$ и слагаемое $7x^2$ в правой части зависят только от $|x|\text{,}$ поэтому первое уравнение, а значит и вся система, также симметрично относительно оси ординат: при замене $x$ на $-x$ уравнение не меняется.

Из высказанного получаем, что если график первого уравнения имеет точку пересечения с окружностью при $x\in (0;1]\text{,}$ то существует и точка пересечения при $x\in [-1;0)\text{.}$ Значит, чтобы система имела единственное решение, точка пересечения графиков должна иметь абсциссу $x=0\text{.}$

Подставим $x=0$ в систему. Из второго уравнения $y^2=1\text{,}$ то есть $y=1$ или $y=-1\text{.}$ Первое уравнение принимает вид

$$2^3+1=8y+a,9=8y+a.$$

При $y=1$ получаем $a=1\text{;}$ при $y=-1$ получаем $a=17\text{.}$

Проверим единственность. Выразим из второго уравнения точки окружности через параметр и рассмотрим функцию

$$g=2^{|x|+3}+7|x|+1-8y-7x^2,x^2+y^2=1,$$

тогда первое уравнение принимает вид $g=a\text{.}$ Наименьшее значение $g$ на окружности равно $1$ и достигается ровно в одной точке $(0;1)\text{.}$ Поэтому при $a=1$ прямая $g=a$ касается $g$ в её единственном минимуме — система имеет ровно одно решение $(0;1)\text{.}$ При $a=17$ (точка $(0;-1)$) появляются две симметричные точки пересечения $(1;0)$ и $(-1;0)\text{,}$ то есть решение не единственно. При $a>1$ решений два, при $a<1$ решений нет.

Значит, система имеет единственное решение только при $a=1\text{.}$