Задача №18332

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом их которых система

$$\{\begin{array}{l}6\cdot 2^{|x|}+7|x|+1=6y+7x^2+a,\\ x^2+y^2=1\end{array}$$

имеет ровно одно решение.

Заметим, что второе уравнение системы задаёт окружность, которая симметрична относительно оси ординат, так как при замене $x$ на $-x$ уравнение не меняется. При этом данная окружность имеет радиус $1\text{,}$ следовательно, она определена при $x\in [-1;1]\text{.}$

Рассмотрим первое уравнение системы. Заметим, что график этого уравнения также симметричен относительно оси ординат, так как при замене $x$ на $-x$ уравнение не меняется.

Из вышесказанного получаем, что если график первого уравнения имеет точку пересечения с окружностью при $x\in (0;1]\text{,}$ то будет существовать ещё одна точка пересечения при $x\in [-1;0)\text{.}$ Значит, существует единственный случай, когда система может иметь единственное решение: если точка пересечения графиков имеет абсциссу $x=0\text{.}$

Подставим данное значение в систему:

$$\{\begin{array}{l}6\cdot 2^{|0|}+7\cdot |0|+1=6y+7\cdot 0^2+a,\\ 0^2+y^2=1\end{array}$$ $$\{\begin{array}{l}6+1=6y+a,\\ y^2=1.\end{array}$$

Из второго уравнения $y=1$ или $y=-1\text{.}$

При $y=1\text{:}$ $7=6+a\text{,}$ откуда $a=1\text{.}$

При $y=-1\text{:}$ $7=-6+a\text{,}$ откуда $a=13\text{.}$

Проверим оба значения на единственность решения. При $a=1$ система имеет ровно одно решение $(0;1)\text{.}$ При $a=13$ точками пересечения являются $(-1;0)$ и $(1;0)\text{,}$ то есть решений два, что не удовлетворяет условию.

Таким образом, искомое значение параметра $a=1\text{.}$