Найдите все значения параметра a, при каждом их которых система cases 6 * 2^(|x|) + 7|x| + 1 = 6y + 7x^2 + a, x^2 + y^2 = 1 cases имеет ровно одно решение.

Заметим, что второе уравнение системы задаёт окружность, которая симметрична относительно оси ординат, так как при замене x на -x уравнение не меняется. При этом данная окружность имеет радиус 1, следовательно, она определена при x in [-1; 1]. Рассмотрим первое уравнение системы. Заметим, что график этого уравнения также симметричен относительно оси ординат, так как при замене x на -x уравнение не меняется. Из вышесказанного получаем, что если график первого уравнения имеет точку пересечения с окружностью при x in (0; 1], то будет существовать ещё одна точка пересечения при x in [-1; 0). Значит, существует единственный случай, когда система может иметь единственное решение: если точка пересечения графиков имеет абсциссу x = 0. Подставим данное значение в систему: cases 6 * 2^(|0|) + 7 * |0| + 1 = 6y + 7 * 0^2 + a, 0^2 + y^2 = 1 cases cases 6 + 1 = 6y + a, y^2 = 1. cases Из второго уравнения y = 1 или y = -1. При y = 1: 7 = 6 + a, откуда a = 1. При y = -1: 7 = -6 + a, откуда a = 13. Проверим оба значения на единственность решения. При a = 1 система имеет ровно одно решение (0; 1). При a = 13 точками пересечения являются (-1; 0) и (1; 0), то есть решений два, что не удовлетворяет условию. Таким образом, искомое значение параметра a = 1.

\(a \in \{1\}\)