Задача №18331

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых система

$$\{\begin{array}{l}3\cdot 2^{|x|}+5|x|+4=3y+5x^2+3a,\\ x^2+y^2=1\end{array}$$

имеет ровно одно решение.

Заметим, что второе уравнение системы задаёт окружность, которая симметрична относительно оси ординат, так как при замене $x$ на $-x$ уравнение не меняется. При этом данная окружность имеет радиус $1\text{,}$ следовательно, она определена при $x\in [-1;1]\text{.}$

Рассмотрим первое уравнение системы. Заметим, что график этого уравнения также симметричен относительно оси ординат, так как при замене $x$ на $-x$ уравнение не меняется.

Из выявленного выше факта следует, что графики первого и второго уравнений имеют точку пересечения с окружностью при $x\in \{0;1\}$ (будут существовать одна точка пересечения при $x\in [-1;0)\text{.}$ Значит, существует единственный случай, когда система может иметь единственное решение — это точка пересечения графиков, абсцисса которой $x=0\text{.}$

Подставим данное значение в систему:

$$\{\begin{array}{l}3\cdot 2^0+5\cdot |0|+4=3y+5\cdot 0^2+3a,\\ 0^2+y^2=1\end{array}$$ $$\{\begin{array}{l}3+4=3y+3a,\\ y^2=1.\end{array}$$

Тогда при $y=1$ получим:

$$7=3\cdot 1+3a$$ $$a=\frac{4}{3}$$

При $y=-1$ получим:

$$7=3\cdot (-1)+3a$$ $$a=\frac{10}{3}$$

Необходимо понять, действительно ли при данных значениях параметра $a$ система будет иметь единственное решение. При $a=\frac{4}{3}$ единственным решением системы является точка $(0;1)\text{.}$ При $a=\frac{10}{3}\text{,}$ кроме точки $(0;-1)\text{,}$ системе удовлетворяют также точки $(1;0)$ и $(-1;0)\text{,}$ то есть решение не единственно. Поэтому подходит только значение $a=\frac{4}{3}\text{.}$

Ответ: $a=\frac{4}{3}\text{.}$