Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система cases 3 * 2^(|x|) + 5|x| + 4 = 3y + 5x^2 + 3a, x^2 + y^2 = 1 cases имеет ровно одно решение.

Заметим, что второе уравнение системы задаёт окружность, которая симметрична относительно оси ординат, так как при замене x на -x уравнение не меняется. При этом данная окружность имеет радиус 1 , следовательно, она определена при x in [-1;1] . Рассмотрим первое уравнение системы. Заметим, что график этого уравнения также симметричен относительно оси ординат, так как при замене x на -x уравнение не меняется. Из выявленного выше факта следует, что графики первого и второго уравнений имеют точку пересечения с окружностью при x in 0;1 (будут существовать одна точка пересечения при x in [-1;0) . Значит, существует единственный случай, когда система может иметь единственное решение — это точка пересечения графиков, абсцисса которой x = 0 . Подставим данное значение в систему: cases 3 * 2^(0) + 5 * |0| + 4 = 3y + 5 * 0^2 + 3a, 0^2 + y^2 = 1 cases cases 3 + 4 = 3y + 3a, y^2 = 1. cases Тогда при y = 1 получим: 7 = 3 * 1 + 3a a = (4)/(3) При y = -1 получим: 7 = 3 * (-1) + 3a a = (10)/(3) Необходимо понять, действительно ли при данных значениях параметра a система будет иметь единственное решение. При a = (4)/(3) единственным решением системы является точка (0;1) . При a = (10)/(3) , кроме точки (0;-1) , системе удовлетворяют также точки (1;0) и (-1;0) , то есть решение не единственно. Поэтому подходит только значение a = (4)/(3) . Ответ: a = (4)/(3) .

\( a = \dfrac{4}{3} \)