Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система cases 5 * 2^(|x|) + 6|x| + 7 = 5y + 6x^2 - a x^2 + y^2 = 1 cases имеет единственное решение.

Заметим, что второе уравнение системы задаёт окружность, которая симметрична относительно оси ординат, так как при замене x на -x уравнение не меняется. При этом данная окружность имеет радиус 1, следовательно, она определена при x in [-1; 1] . Рассмотрим первое уравнение системы. Заметим, что график этого уравнения также симметричен относительно оси ординат, так как при замене x на -x уравнение не меняется. Из вышесказанного получаем, что если график первого уравнения имеет точку пересечения с окружностью при x in (0; 1] , то будет существовать ещё одна точка пересечения при x in [-1; 0) . Значит, существует единственный случай, когда система может иметь единственное решение: если точка пересечения графиков имеет абсциссу x = 0 . Подставим данное значение в систему: cases 5 * 2^(|0|) + 6 * |0| + 7 = 5y + 6 * 0^2 - a 0^2 + y^2 = 1 cases cases 5 + 7 = 5y - a y^2 = 1 cases Тогда при y = 1 получаем: 12 = 5 * 1 - a a = -7 При y = -1 получаем: 12 = 5 * (-1) - a a = -17 Необходимо понять, действительно ли для данных значений параметра a система будет иметь единственное решение. Подставим a = -17 в первое уравнение системы. Пусть x in [0; 1] , тогда |x| = x . Получим: 5 * 2^x + 6x + 7 = 5y + 6x^2 + 17 5 * 2^x + 6x = 5y + 6x^2 + 10 Заметим, что при x = 1 получаем: 10 + 6 = 5y + 6 + 10 5y = 0 y = 0 Значит, при a = -17 первому уравнению системы удовлетворяет точка (1; 0) , которая, в свою очередь, лежит на окружности. Следовательно, решением системы также будет являться точка (-1; 0) . Значит, при a = -17 система имеет более одного решения. Подставим a = -7 в первое уравнение системы. Пусть x in (0; 1] , тогда: 5 * 2^x + 6x + 7 = 5y + 6x^2 + 7 y = (5 * 2^x + 6x - 6x^2)/(5) = 2^x + (6)/(5)x - (6)/(5)x^2 Так как x in (0; 1] , то (6)/(5)x (6)/(5)x^2 , следовательно, (6)/(5)x - (6)/(5)x^2 0 . При этом 2^x > 1 . Тогда y = 2^x + (6)/(5)x - (6)/(5)x^2 > 1 , то есть точка с такой ординатой лежит вне окружности (радиус которой равен 1), а значит, при x in (0; 1] пересечений с окружностью нет. Следовательно, при a = -7 система имеет единственное решение — точку (0; 1) .

\( a \in \{-7\} \)