Задача №18329

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых система

$$\{\begin{array}{l}5\cdot 2^{|x|}+6|x|+7=5y+6x^2-a\\ x^2+y^2=1\end{array}$$

имеет единственное решение.

Заметим, что второе уравнение системы задаёт окружность, которая симметрична относительно оси ординат, так как при замене $x$ на $-x$ уравнение не меняется. При этом данная окружность имеет радиус 1, следовательно, она определена при $x\in [-1;1]\text{.}$

Рассмотрим первое уравнение системы. Заметим, что график этого уравнения также симметричен относительно оси ординат, так как при замене $x$ на $-x$ уравнение не меняется.

Из вышесказанного получаем, что если график первого уравнения имеет точку пересечения с окружностью при $x\in (0;1]\text{,}$ то будет существовать ещё одна точка пересечения при $x\in [-1;0)\text{.}$ Значит, существует единственный случай, когда система может иметь единственное решение: если точка пересечения графиков имеет абсциссу $x=0\text{.}$

Подставим данное значение в систему:

$$\{\begin{array}{l}5\cdot 2^{|0|}+6\cdot |0|+7=5y+6\cdot 0^2-a\\ 0^2+y^2=1\end{array}$$ $$\{\begin{array}{l}5+7=5y-a\\ y^2=1\end{array}$$

Тогда при $y=1$ получаем:

$$12=5\cdot 1-a$$ $$a=-7$$

При $y=-1$ получаем:

$$12=5\cdot (-1)-a$$ $$a=-17$$

Необходимо понять, действительно ли для данных значений параметра $a$ система будет иметь единственное решение. Подставим $a=-17$ в первое уравнение системы. Пусть $x\in [0;1]\text{,}$ тогда $|x|=x\text{.}$ Получим:

$$5\cdot 2^x+6x+7=5y+6x^2+17$$ $$5\cdot 2^x+6x=5y+6x^2+10$$

Заметим, что при $x=1$ получаем:

$$10+6=5y+6+10$$ $$5y=0$$ $$y=0$$

Значит, при $a=-17$ первому уравнению системы удовлетворяет точка $(1;0)\text{,}$ которая, в свою очередь, лежит на окружности. Следовательно, решением системы также будет являться точка $(-1;0)\text{.}$ Значит, при $a=-17$ система имеет более одного решения.

Подставим $a=-7$ в первое уравнение системы. Пусть $x\in (0;1]\text{,}$ тогда:

$$5\cdot 2^x+6x+7=5y+6x^2+7$$ $$y=\frac{5\cdot 2^x+6x-6x^2}{5}=2^x+\frac{6}{5}x-\frac{6}{5}{x}^2$$

Так как $x\in (0;1]\text{,}$ то $\frac{6}{5}x⩾\frac{6}{5}{x}^2\text{,}$ следовательно, $\frac{6}{5}x-\frac{6}{5}{x}^2⩾0\text{.}$ При этом $2^x>1\text{.}$ Тогда $y=2^x+\frac{6}{5}x-\frac{6}{5}{x}^2>1\text{,}$ то есть точка с такой ординатой лежит вне окружности (радиус которой равен 1), а значит, при $x\in (0;1]$ пересечений с окружностью нет. Следовательно, при $a=-7$ система имеет единственное решение — точку $(0;1)\text{.}$