В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AC и катета BC соответственно. Точка K лежит на катете BC так, что BK : KC = 1 : 3. а) Докажите, что AN = 2KM. б) Пусть P — точка пересечения отрезков AN и KM. Найдите длину отрезка прямой BP, заключённого внутри треугольника KMN, если AB = 10, BC = 16.

а) Пусть BC = 4x. Так как BK : KC = 1 : 3, то BK = x, KC = 3x. Так как N — середина BC, то BN = NC = 2x. Тогда KN = BN - BK = 2x - x = x. Так как M и N — середины сторон AC и BC, то MN — средняя линия треугольника ABC. Тогда имеем: MN AB, MN = (AB)/(2). Так как AB BC, то MN BC. Рассмотрим треугольники ABN и MNK. Их углы ABN и MNK равны 90^. Также выполнено отношение (BN)/(KN) = (2)/(1) = (AB)/(MN). Значит, треугольники ABN и MNK подобны по двум пропорциональным сторонам. Запишем для них отношение подобия: (AN)/(KM) = (BN)/(KN) = (2x)/(x) = 2. Таким образом, AN = 2KM, что и требовалось доказать. б) Пусть AB n MK = H. Так как MN — средняя линия треугольника ABC, то MN = (AB)/(2) = (10)/(2) = 5. Из того, что BC = 16, имеем: BK = KN = (BC)/(4) = (16)/(4) = 4, NC = (BC)/(2) = (16)/(2) = 8. Введём координаты: B(0;0), A(0;10), C(16;0). Тогда N(8;0) — середина BC, M(8;5) — середина AC, K(4;0). Точка P — пересечение отрезков AN и KM: P(6;(5)/(2)), причём P — середина отрезка KM. Прямая BP внутри треугольника KMN идёт от точки P (на стороне KM) до точки пересечения со стороной MN (прямая x = 8), то есть до точки (8;(10)/(3)). Длина этого отрезка: sqrt((8-6)^2 + ((10)/(3) - (5)/(2))^2) = sqrt(4 + (25)/(36)) = sqrt((169)/(36)) = (13)/(6).

\(\dfrac{13}{6}\)