Задача №18328

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины гипотенузы $AC$ и катета $BC$ соответственно. Точка $K$ лежит на катете $BC$ так, что $BK:KC=1:3\text{.}$

а) Докажите, что $AN=2KM\text{.}$

б) Пусть $P$ — точка пересечения отрезков $AN$ и $KM\text{.}$ Найдите длину отрезка прямой $BP\text{,}$ заключённого внутри треугольника $KMN\text{,}$ если $AB=10\text{,}$ $BC=16\text{.}$

а) Пусть $BC=4x\text{.}$ Так как $BK:KC=1:3\text{,}$ то $BK=x\text{,}$ $KC=3x\text{.}$ Так как $N$ — середина $BC\text{,}$ то $BN=NC=2x\text{.}$ Тогда

$$KN=BN-BK=2x-x=x.$$

Так как $M$ и $N$ — середины сторон $AC$ и $BC\text{,}$ то $MN$ — средняя линия треугольника $ABC\text{.}$ Тогда имеем:

$$MN\parallel AB,MN=\frac{AB}{2}.$$

Так как $AB\perp BC\text{,}$ то $MN\perp BC\text{.}$

Рассмотрим треугольники $ABN$ и $MNK\text{.}$ Их углы $ABN$ и $MNK$ равны $90^{\circ }\text{.}$ Также выполнено отношение

$$\frac{BN}{KN}=\frac{2}{1}=\frac{AB}{MN}.$$

Значит, треугольники $ABN$ и $MNK$ подобны по двум пропорциональным сторонам. Запишем для них отношение подобия:

$$\frac{AN}{KM}=\frac{BN}{KN}=\frac{2x}{x}=2.$$

Таким образом, $AN=2KM\text{,}$ что и требовалось доказать.

б) Пусть $AB\cap MK=H\text{.}$ Так как $MN$ — средняя линия треугольника $ABC\text{,}$ то

$$MN=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5.$$

Из того, что $BC=16\text{,}$ имеем:

$$BK=KN=\frac{BC}{4}=\frac{16}{4}=4,NC=\frac{BC}{2}=\frac{16}{2}=8.$$

Введём координаты: $B(0;0)\text{,}$ $A(0;10)\text{,}$ $C(16;0)\text{.}$ Тогда $N(8;0)$ — середина $BC\text{,}$ $M(8;5)$ — середина $AC\text{,}$ $K(4;0)\text{.}$

Точка $P$ — пересечение отрезков $AN$ и $KM\text{:}$ $P\left(6;\frac{5}{2}\right)\text{,}$ причём $P$ — середина отрезка $KM\text{.}$

Прямая $BP$ внутри треугольника $KMN$ идёт от точки $P$ (на стороне $KM$) до точки пересечения со стороной $MN$ (прямая $x=8$), то есть до точки $\left(8;\frac{10}{3}\right)\text{.}$ Длина этого отрезка:

$$\sqrt{(8-6{)}^2+{\left(\frac{10}{3}-\frac{5}{2}\right)}^2}=\sqrt{4+\frac{25}{36}}=\sqrt{\frac{169}{36}}=\frac{13}{6}.$$