В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N -- середины гипотенузы AC и катета BC соответственно. Точка K лежит на катете BC так, что BK:KC=1:3. а) Докажите, что AN=2KM. б) Пусть P -- точка пересечения отрезков AN и KM. Найдите длину отрезка прямой BP, заключённого внутри треугольника KMN, если AB=6, BC=8.

а) Пусть BC=4x. Тогда, поскольку BK:KC=1:3, имеем BK=x, KC=3x. Так как N -- середина BC, то BN=NC=2x. Тогда KN=BN-BK=2x-x=x. Так как M и N -- середины сторон AC и BC, то MN -- средняя линия треугольника ABC. Тогда имеем MN=(AB)/(2). Так как AB BC, то MN BC, значит MN AB и MN BC. Рассмотрим треугольники ABN и MNK. Углы ABN и MNK равны 90^. Также выполнено отношение (BN)/(KN)=(2x)/(x)=(2)/(1), (AB)/(MN)=(AB)/(AB2)=2. Значит, треугольники ABN и MNK подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Запишем для них отношение подобия: (AN)/(KM)=(BN)/(KN)=(2x)/(x)=2. Таким образом, AN=2KM, что и требовалось доказать. б) Пусть ABn MK=H. Так как MN -- средняя линия треугольника ABC, то MN=(AB)/(2)=(6)/(2)=3. Из того, что BC=8, имеем BK=(BC)/(4)=(8)/(4)=2, NC=(BC)/(2)=(8)/(2)=4. Введём систему координат с началом в точке B, осью x вдоль BC и осью y вдоль BA. Тогда B(0;0), C(8;0), A(0;6). Получаем M(4;3), N(4;0), K(2;0). Точка P -- пересечение AN и KM. Прямая AN: из A(0;6) в N(4;0). Прямая KM: из K(2;0) в M(4;3). Решая систему, находим P(3;(3)/(2)). Прямая BP задаётся уравнением y=(1)/(2)x. Точка P лежит на стороне KM треугольника KMN. Прямая BP пересекает сторону NM (прямую x=4) в точке (4;2). Следовательно, отрезок прямой BP, заключённый внутри треугольника KMN, идёт от P(3;(3)/(2)) до точки (4;2). Его длина равна sqrt((4-3)^2+(2-(3)/(2))^2)=sqrt(1+(1)/(4))=sqrt((5)/(4))=(sqrt(5))/(2).

\(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)