Задача №18327

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины гипотенузы $AC$ и катета $BC$ соответственно. Точка $K$ лежит на катете $BC$ так, что $BK:KC=1:3\text{.}$

а) Докажите, что $AN=2KM\text{.}$

б) Пусть $P$ — точка пересечения отрезков $AN$ и $KM\text{.}$ Найдите длину отрезка прямой $BP\text{,}$ заключённого внутри треугольника $KMN\text{,}$ если $AB=6\text{,}$ $BC=8\text{.}$

а) Пусть $BC=4x\text{.}$ Тогда, поскольку $BK:KC=1:3\text{,}$ имеем $BK=x\text{,}$ $KC=3x\text{.}$ Так как $N$ — середина $BC\text{,}$ то $BN=NC=2x\text{.}$ Тогда

$$KN=BN-BK=2x-x=x.$$

Так как $M$ и $N$ — середины сторон $AC$ и $BC\text{,}$ то $MN$ — средняя линия треугольника $ABC\text{.}$ Тогда имеем

$$MN=\frac{AB}{2}.$$

Так как $AB\perp BC\text{,}$ то $MN\perp BC\text{,}$ значит $MN\parallel AB$ и $MN\perp BC\text{.}$

Рассмотрим треугольники $ABN$ и $MNK\text{.}$ Углы $\angle ABN$ и $\angle MNK$ равны $90^{\circ }\text{.}$ Также выполнено отношение

$$\frac{BN}{KN}=\frac{2x}{x}=\frac{2}{1},\frac{AB}{MN}=\frac{AB}{\frac{AB}{2}}=2.$$

Значит, треугольники $ABN$ и $MNK$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Запишем для них отношение подобия:

$$\frac{AN}{KM}=\frac{BN}{KN}=\frac{2x}{x}=2.$$

Таким образом, $AN=2KM\text{,}$ что и требовалось доказать.

б) Пусть $AB\cap MK=H\text{.}$ Так как $MN$ — средняя линия треугольника $ABC\text{,}$ то

$$MN=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3.$$

Из того, что $BC=8\text{,}$ имеем

$$BK=\frac{BC}{4}=\frac{8}{4}=2,NC=\frac{BC}{2}=\frac{8}{2}=4.$$

Введём систему координат с началом в точке $B\text{,}$ осью $x$ вдоль $BC$ и осью $y$ вдоль $BA\text{.}$ Тогда $B(0;0)\text{,}$ $C(8;0)\text{,}$ $A(0;6)\text{.}$ Получаем $M(4;3)\text{,}$ $N(4;0)\text{,}$ $K(2;0)\text{.}$

Точка $P$ — пересечение $AN$ и $KM\text{.}$ Прямая $AN\text{:}$ из $A(0;6)$ в $N(4;0)\text{.}$ Прямая $KM\text{:}$ из $K(2;0)$ в $M(4;3)\text{.}$ Решая систему, находим $P(3;\frac{3}{2})\text{.}$

Прямая $BP$ задаётся уравнением $y=\frac{1}{2}x\text{.}$ Точка $P$ лежит на стороне $KM$ треугольника $KMN\text{.}$ Прямая $BP$ пересекает сторону $NM$ (прямую $x=4$) в точке $\left(4;2\right)\text{.}$ Следовательно, отрезок прямой $BP\text{,}$ заключённый внутри треугольника $KMN\text{,}$ идёт от $P\left(3;\frac{3}{2}\right)$ до точки $\left(4;2\right)\text{.}$ Его длина равна

$$\sqrt{(4-3{)}^2+{\left(2-\frac{3}{2}\right)}^2}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}.$$