В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L. а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны. б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos BAC = (1)/(9).

Пусть AL n BC = H, а AL — биссектриса угла BAC. Обозначим BAL = CAL = alpha. Точки M и N — середины сторон AB и BC, значит, MN — средняя линия треугольника ABC. Тогда AC MN, и поэтому CAL = MLA как накрест лежащие при AC ML и секущей AL. Значит, BAL = MLA. В треугольнике AML углы MAL и MLA равны, значит, треугольник AML — равнобедренный, то есть AM = ML. При этом ML = AM = BM = (AB)/(2). Так как ML — медиана треугольника ABL, равная половине стороны AB, треугольник ABL — прямоугольный, причём ALB = 90^. а) В треугольниках AML и BLC: MAL = LBC и ALM = BCL (углы равны как соответствующие при параллельных прямых AC MN), значит, треугольники AML и BLC подобны по двум углам, что и требовалось доказать. б) Из подобия отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия. В прямоугольном треугольнике ABL ( ALB = 90^, BAL = alpha) имеем BL = AB, AM = (AB)/(2). Коэффициент подобия k = (AM)/(BL) = (AB/2)/(AB) = (1)/(2), где alpha = ( BAC)/(2). Так как cos BAC = (1)/(9), то sin^2alpha = sin^2( BAC)/(2) = (1 - cos BAC)/(2) = (1 - (1)/(9))/(2) = (4)/(9). Тогда (S_(AML))/(S_(BLC)) = k^2 = (1)/(4sin^2alpha) = (1)/(4 * (4)/(9)) = (9)/(16). Ответ: (9)/(16).

\(\dfrac{9}{16}\)