В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N -- середины гипотенузы AB и катета BC соответственно, точка K отмечена на катете BC так, что CK:KB=1:3. а) Докажите, что AN=2KM. б) Пусть P -- точка пересечения отрезков AN и KM. Найдите длину отрезка прямой BP, заключённого внутри треугольника ABC, если AC=6, BC=8.

Пусть BC=4x. Так как CK:KB=1:3, то CK=x, KB=3x. Так как N -- середина BC, то BN=NC=2x. Тогда KN=CN-CK=2x-x=x. а) Введём прямоугольную систему координат с началом в вершине прямого угла C: C=(0;0), B=(8;0), A=(0;6). Тогда M -- середина AB: M=(4;3); N -- середина BC: N=(4;0); точка K с условием CK:KB=1:3: K=(2;0). Вычислим длины: AN=sqrt((4-0)^2+(0-6)^2)=sqrt(16+36)=sqrt(52), KM=sqrt((4-2)^2+(3-0)^2)=sqrt(4+9)=sqrt(13). Значит, AN=sqrt(52)=2sqrt(13)=2KM, что и требовалось доказать. б) При AC=6, BC=8 сохраняем координаты C=(0;0), B=(8;0), A=(0;6), M=(4;3), N=(4;0), K=(2;0). Найдём точку P пересечения отрезков AN и KM. Прямая AN проходит через A=(0;6) и N=(4;0): y=6-(3)/(2)x. Прямая KM проходит через K=(2;0) и M=(4;3): y=(3)/(2)(x-2). Приравнивая, получаем 6-(3)/(2)x=(3)/(2)x-3, откуда 3x=9, x=3, y=(3)/(2). Значит, P=(3;(3)/(2)). Прямая BP проходит через B=(8;0) и P=(3;(3)/(2)). Её направление: P-B=(-5;(3)/(2)). Внутри треугольника эта прямая идёт от вершины B до пересечения с катетом AC (прямая x=0). Параметризуем: точка на прямой B+u(P-B)=(8-5u; (3)/(2)u). При x=0: 8-5u=0, u=(8)/(5), тогда y=(3)/(2)*(8)/(5)=(12)/(5). Точка выхода Q=(0;(12)/(5)) лежит на катете AC (так как 0 (12)/(5) 6). Искомая длина -- это отрезок BQ: BQ=sqrt((8-0)^2+(0-(12)/(5))^2)=sqrt(64+(144)/(25))=sqrt((1600+144)/(25))=sqrt((1744)/(25))=(sqrt(1744))/(5)=(4sqrt(109))/(5). Ответ: (4sqrt(109))/(5).

б) \(\dfrac{4\sqrt{109}}{5}\)