Задача №18325

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины гипотенузы $AB$ и катета $BC$ соответственно, точка $K$ отмечена на катете $BC$ так, что $CK:KB=1:3\text{.}$

а) Докажите, что $AN=2KM\text{.}$

б) Пусть $P$ — точка пересечения отрезков $AN$ и $KM\text{.}$ Найдите длину отрезка прямой $BP\text{,}$ заключённого внутри треугольника $ABC\text{,}$ если $AC=6\text{,}$ $BC=8\text{.}$

Пусть $BC=4x\text{.}$ Так как $CK:KB=1:3\text{,}$ то $CK=x\text{,}$ $KB=3x\text{.}$ Так как $N$ — середина $BC\text{,}$ то $BN=NC=2x\text{.}$ Тогда

$$KN=CN-CK=2x-x=x.$$

а) Введём прямоугольную систему координат с началом в вершине прямого угла $C\text{:}$ $C=(0;0)\text{,}$ $B=(8;0)\text{,}$ $A=(0;6)\text{.}$ Тогда $M$ — середина $AB\text{:}$ $M=(4;3)\text{;}$ $N$ — середина $BC\text{:}$ $N=(4;0)\text{;}$ точка $K$ с условием $CK:KB=1:3\text{:}$ $K=(2;0)\text{.}$

Вычислим длины:

$$AN=\sqrt{(4-0{)}^2+(0-6{)}^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52},$$ $$KM=\sqrt{(4-2{)}^2+(3-0{)}^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.$$

Значит, $AN=\sqrt{52}=2\sqrt{13}=2KM\text{,}$ что и требовалось доказать.

б) При $AC=6\text{,}$ $BC=8$ сохраняем координаты $C=(0;0)\text{,}$ $B=(8;0)\text{,}$ $A=(0;6)\text{,}$ $M=(4;3)\text{,}$ $N=(4;0)\text{,}$ $K=(2;0)\text{.}$

Найдём точку $P$ пересечения отрезков $AN$ и $KM\text{.}$

Прямая $AN$ проходит через $A=(0;6)$ и $N=(4;0)\text{:}$

$$y=6-\frac{3}{2}x.$$

Прямая $KM$ проходит через $K=(2;0)$ и $M=(4;3)\text{:}$

$$y=\frac{3}{2}(x-2).$$

Приравнивая, получаем $6-\frac{3}{2}x=\frac{3}{2}x-3\text{,}$ откуда $3x=9\text{,}$ $x=3\text{,}$ $y=\frac{3}{2}\text{.}$ Значит, $P=\left(3;\frac{3}{2}\right)\text{.}$

Прямая $BP$ проходит через $B=(8;0)$ и $P=\left(3;\frac{3}{2}\right)\text{.}$ Её направление: $P-B=\left(-5;\frac{3}{2}\right)\text{.}$ Внутри треугольника эта прямая идёт от вершины $B$ до пересечения с катетом $AC$ (прямая $x=0$).

Параметризуем: точка на прямой $B+u(P-B)=\left(8-5u;\frac{3}{2}u\right)\text{.}$ При $x=0\text{:}$ $8-5u=0\text{,}$ $u=\frac{8}{5}\text{,}$ тогда $y=\frac{3}{2}\cdot \frac{8}{5}=\frac{12}{5}\text{.}$ Точка выхода $Q=\left(0;\frac{12}{5}\right)$ лежит на катете $AC$ (так как $0⩽\frac{12}{5}⩽6$).

Искомая длина — это отрезок $BQ\text{:}$

$$BQ=\sqrt{(8-0{)}^2+{\left(0-\frac{12}{5}\right)}^2}=\sqrt{64+\frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{1600+144}{25}}=\sqrt{\frac{1744}{25}}=\frac{\sqrt{1744}}{5}=\frac{4\sqrt{109}}{5}.$$

Ответ: $\frac{4\sqrt{109}}{5}\text{.}$