В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L. а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны. б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos BAC = (7)/(25).

а) Пусть AL n BC = H. AL — биссектриса угла BAC. Тогда BAL = CAL = alpha. Точки M и N — середины сторон AB и BC, значит, MN — средняя линия треугольника ABC. Тогда AC MN. CAL = alpha как накрест лежащие при AC ML и секущей AL. Тогда BAL = alpha = MLA. В треугольнике AML углы MAL и MLA равны, значит, треугольник AML — равнобедренный, то есть AM = ML. Тогда ML = AM = BM = (AB)/(2). Значит, в треугольнике ABL медиана ML равна половине стороны AB. Тогда треугольник ABL — прямоугольный, причём ALB = 90^. Треугольники AHC и BHL подобны по двум углам, так как AHC = BHL как вертикальные; ACH = BLH = 90^. Так как ML AC, AC BC, то ML BC. В треугольнике BAC высота LN совпадает с медианой, следовательно, треугольник BLC — равнобедренный. Тогда BCL = BLC = alpha. Треугольники AML и BLC подобны по двум углам, так как MAL = MLA = BCL = LBC = alpha. Что и требовалось доказать. б) Из условия имеем: cos BAC = cos 2alpha = (7)/(25). По формуле косинуса двойного угла получаем: cos 2alpha = 1 - 2sin^2alpha, (7)/(25) = 1 - 2sin^2alpha, sin^2alpha = (9)/(25), = (3)/(5). Коэффициент подобия треугольников AML и BLC равен отношению соответственных сторон. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, что даёт (25)/(36).

б) \(\dfrac{25}{36}\)