В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 4,2 млн рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 4,2 млн рублей; — выплаты в 2030 и 2031 годах равны; — к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью. Найдите r , если известно, что общая сумма выплат равна 6,1 млн рублей.

Обозначим p = 1 + (r)/(100) . Пусть также x млн рублей — платёж в 2030 и 2031 годах. В 2027, 2028 и 2029 годах долг в июле остаётся равным начальной сумме 4,2 млн рублей. Значит, в каждый из этих годов после январского начисления процентов долг становится равным 4,2p , и выплачивается ровно начисленный процент: 4,2p - 4,2 = 4,2(p-1). Таким образом, в каждый из трёх годов (2027, 2028, 2029) выплачивается по 4,2(p-1) млн рублей. В 2030 году перед выплатой долг равен 4,2p , после выплаты x остаток равен 4,2p - x . В 2031 году после начисления процентов долг становится равным (4,2p - x)p , а после выплаты x долг должен стать равным нулю: (4,2p - x)p - x = 0 => x = (4,2p^2)/(p+1). Общая сумма всех выплат равна 6,1 млн рублей: 3 * 4,2(p-1) + 2 * (4,2p^2)/(p+1) = 6,1. Умножим обе части на (p+1) : 3 * 4,2(p-1)(p+1) + 2 * 4,2p^2 = 6,1(p+1), 12,6(p^2-1) + 8,4p^2 = 6,1p + 6,1, 21p^2 - 6,1p - 18,7 = 0. Решая квадратное уравнение, получаем положительный корень p = (11)/(10) = 1,1. Тогда (r)/(100) = p - 1 = 0,1 , то есть r = 10 .

\( r = 10 \)