Задача №18322

В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 4,2 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 4,2 млн рублей;

— выплаты в 2030 и 2031 годах равны;

— к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.

Найдите $r\text{,}$ если известно, что общая сумма выплат равна 6,1 млн рублей.

Обозначим $p=1+\frac{r}{100}\text{.}$ Пусть также $x$ млн рублей — платёж в 2030 и 2031 годах.

В 2027, 2028 и 2029 годах долг в июле остаётся равным начальной сумме $4,2$ млн рублей. Значит, в каждый из этих годов после январского начисления процентов долг становится равным $4,2p\text{,}$ и выплачивается ровно начисленный процент:

$$4,2p-4,2=4,2(p-1).$$

Таким образом, в каждый из трёх годов (2027, 2028, 2029) выплачивается по $4,2(p-1)$ млн рублей.

В 2030 году перед выплатой долг равен $4,2p\text{,}$ после выплаты $x$ остаток равен $4,2p-x\text{.}$

В 2031 году после начисления процентов долг становится равным $(4,2p-x)p\text{,}$ а после выплаты $x$ долг должен стать равным нулю:

$$(4,2p-x)p-x=0\Rightarrow x=\frac{4,2p^2}{p+1}.$$

Общая сумма всех выплат равна $6,1$ млн рублей:

$$3\cdot 4,2(p-1)+2\cdot \frac{4,2p^2}{p+1}=6,1.$$

Умножим обе части на $(p+1)\text{:}$

$$3\cdot 4,2(p-1)(p+1)+2\cdot 4,2p^2=6,1(p+1),$$ $$12,6(p^2-1)+8,4p^2=6,1p+6,1,$$ $$21p^2-6,1p-18,7=0.$$

Решая квадратное уравнение, получаем положительный корень

$$p=\frac{11}{10}=1,1.$$

Тогда $\frac{r}{100}=p-1=0,1\text{,}$ то есть $r=10\text{.}$