Задача №18319

Решите неравенство

$${\log }_{49}(x+4)+{\log }_{(x^2+8x+16)}\sqrt{7}⩽-\frac{3}{4}.$$

Запишем ОДЗ:

$$\{\begin{array}{l}x+4>0,\\ x^2+8x+16>0,\\ x^2+8x+16\ne 1;\end{array}\{\begin{array}{l}x>-4,\\ x\ne -4,\\ x\ne -5,x\ne -3.\end{array}$$

Получаем:

$$x\in (-4;-3)\cup (-3;+\infty ).$$

Заметим, что

$$x^2+8x+16=(x+4{)}^2,49=7^2,\sqrt{7}=7^{\frac{1}{2}}.$$

Отметим, что в силу ОДЗ

$${\log }_{(x^2+8x+16)}{7}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}{\log }_{(x+4{)}^2}7=\frac{1}{4}{\log }_{(x+4)}7.$$

Тогда преобразуем неравенство на ОДЗ, пользуясь свойствами логарифмов:

$$\frac{1}{2}{\log }_7(x+4)+\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{{\log }_7(x+4)}+\frac{3}{4}⩽0,$$ $$\frac{1}{2}{\log }_7(x+4)+\frac{1}{4{\log }_7(x+4)}+\frac{3}{4}⩽0.$$

Сделаем замену:

$$t={\log }_7(x+4).$$

Получим:

$$\frac{1}{2}t+\frac{1}{4t}+\frac{3}{4}⩽0,$$ $$\frac{2t^2+1+3t}{4t}⩽0,$$ $$\frac{(t+1)(2t+1)}{t}⩽0.$$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Корни: $t=-1\text{,}$ $t=-\frac{1}{2}\text{,}$ точка разрыва $t=0\text{.}$ Получаем:

$$t\in (-\infty ;-1]\cup \left[-\frac{1}{2};0\right).$$

Вернёмся к переменной $x\text{,}$ $t={\log }_7(x+4)\text{:}$

1) ${\log }_7(x+4)⩽-1\Rightarrow 0<x+4⩽\frac{1}{7}\Rightarrow -4<x⩽-\frac{27}{7}\text{.}$

2) $-\frac{1}{2}⩽{\log }_7(x+4)<0\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{7}}⩽x+4<1\Rightarrow -4+\frac{1}{\sqrt{7}}⩽x<-3\text{.}$

С учётом ОДЗ окончательно:

$$x\in \left(-4;-\frac{27}{7}\right]\cup \left[-4+\frac{1}{\sqrt{7}};-3\right).$$