Решите неравенство _(49)(x+4) + _((x^2+8x+16))sqrt(7) -(3)/(4).

Запишем ОДЗ: cases x+4>0, x^2+8x+16>0, x^2+8x+16!= 1; cases cases x>-4, x!= -4, x!= -5, x!= -3. cases Получаем: xin(-4;-3)U(-3;+inf). Заметим, что x^2+8x+16=(x+4)^2, 49=7^2, sqrt(7)=7^(12). Отметим, что в силу ОДЗ _((x^2+8x+16))7^(12)=(1)/(2)_((x+4)^2)7=(1)/(4)_((x+4))7. Тогда преобразуем неравенство на ОДЗ, пользуясь свойствами логарифмов: (1)/(2)_7(x+4)+(1)/(4)*(1)/(_7(x+4))+(3)/(4) 0, (1)/(2)_7(x+4)+(1)/(4_7(x+4))+(3)/(4) 0. Сделаем замену: t=_7(x+4). Получим: (1)/(2)t+(1)/(4t)+(3)/(4) 0, (2t^2+1+3t)/(4t) 0, ((t+1)(2t+1))/(t) 0. Решим полученное неравенство методом интервалов. Корни: t=-1, t=-(1)/(2), точка разрыва t=0. Получаем: tin(-inf;-1]U[-(1)/(2);0). Вернёмся к переменной x, t=_7(x+4): 1) _7(x+4) -1=> 0<x+4 (1)/(7)=> -4<x -(27)/(7). 2) -(1)/(2) _7(x+4)<0=> (1)/(sqrt(7)) x+4<1=> -4+(1)/(sqrt(7)) x<-3. С учётом ОДЗ окончательно: xin(-4;-(27)/(7)]U[-4+(1)/(sqrt(7));-3).

\(x \in \left(-4;\, -\dfrac{27}{7}\right] \cup \left[-4+\dfrac{1}{\sqrt{7}};\, -3\right)\)