Задача №18318

Запишем ОДЗ неравенства:

$$\{\begin{array}{l}x+1>0\\ x+1\ne 1\\ x^2-5x+7>0\\ x>0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x>-1\\ x\ne 0\\ x\in \mathbb{R}\\ x>0\end{array}$$

(квадратный трёхчлен $x^2-5x+7$ имеет отрицательный дискриминант, поэтому положителен при всех $x$).

Отсюда получаем $x>0\text{.}$

Перейдём от логарифмического неравенства к рациональному. Так как $x>0\text{,}$ то основание логарифма $x+1>1\text{,}$ значит, при переходе знак неравенства не изменится:

$${\log }_{x+1}\left(x^2-5x+7\right)⩽{\log }_{x+1}x,$$ $$x^2-5x+7⩽x,$$ $$x^2-6x+7⩽0.$$

Найдём нули левой части:

$$x^2-6x+7=0,$$ $$D=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 7=36-28=8,$$ $$x_{1,2}=\frac{6\pm \sqrt{8}}{2}=3\pm \sqrt{2}.$$

Получаем итоговый вид неравенства:

$$\left(x-3-\sqrt{2}\right)\left(x-3+\sqrt{2}\right)⩽0.$$

Решим полученное неравенство методом интервалов: решением является промежуток

$$3-\sqrt{2}⩽x⩽3+\sqrt{2}.$$

Все эти значения удовлетворяют ОДЗ ($3-\sqrt{2}\approx 1,59>0$).

Таким образом, с учётом ОДЗ получаем

$$x\in \left[3-\sqrt{2};3+\sqrt{2}\right].$$