Решите неравенство _(x+1)(x^2 - 5x + 7) _(x+1) x.

Запишем ОДЗ неравенства: cases x+1 > 0 x+1 != 1 x^2 - 5x + 7 > 0 x > 0 cases cases x > -1 x != 0 x in R x > 0 cases (квадратный трёхчлен x^2-5x+7 имеет отрицательный дискриминант, поэтому положителен при всех x). Отсюда получаем x > 0. Перейдём от логарифмического неравенства к рациональному. Так как x > 0, то основание логарифма x+1 > 1, значит, при переходе знак неравенства не изменится: _(x+1)(x^2 - 5x + 7) _(x+1) x, x^2 - 5x + 7 x, x^2 - 6x + 7 0. Найдём нули левой части: x^2 - 6x + 7 = 0, D = (-6)^2 - 4* 1* 7 = 36 - 28 = 8, x_(1,2) = (6 +- sqrt(8))/(2) = 3 +- sqrt(2). Получаем итоговый вид неравенства: (x - 3 - sqrt(2))(x - 3 + sqrt(2)) 0. Решим полученное неравенство методом интервалов: решением является промежуток 3 - sqrt(2) x 3 + sqrt(2). Все эти значения удовлетворяют ОДЗ (3-sqrt(2)~ 1,59 > 0). Таким образом, с учётом ОДЗ получаем x in [3 - sqrt(2);3 + sqrt(2)].

\(\left[3-\sqrt{2};\, 3+\sqrt{2}\right]\)