Задача №18317

Запишем ОДЗ неравенства:

$$\{\begin{array}{l}x>0\\ {\log }_{3}x\ne 0\\ \frac{9}{x}>0\\ x\ne 0\\ {\log }_3{x}^2\ne 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x>0\\ x\ne 1\end{array}$$

Итоговая ОДЗ: $x\in (0;1)\cup (1;+\infty )\text{.}$

Преобразуем неравенство на ОДЗ, используя свойства логарифмов:

$$\frac{9}{{\log }_{3}x}-({\log }_{3}9-{\log }_{3}x)⩽\frac{34}{2{\log }_{3}x},$$ $$\frac{9}{{\log }_{3}x}-2+{\log }_{3}x⩽\frac{17}{{\log }_{3}x}.$$

Сделаем замену ${\log }_{3}x=t$ и получим:

$$\frac{9}{t}-2+t⩽\frac{17}{t},$$ $$\frac{t^2-2t+9-17}{t}⩽0,$$ $$\frac{t^2-2t-8}{t}⩽0,$$ $$\frac{(t+2)(t-4)}{t}⩽0.$$

Решим полученное неравенство методом интервалов. На числовой прямой отметим точки $-2\text{,}$ $0\text{,}$ $4\text{;}$ знаки на интервалах: $-\text{,}$ $+\text{,}$ $-\text{,}$ $+\text{.}$

Отсюда получаем $t\in (-\infty ;-2]\cup (0;4]\text{.}$ Сделаем обратную замену:

$$[\begin{array}{l}t⩽-2\\ 0<t⩽4\end{array}[\begin{array}{l}{\log }_{3}x⩽-2\\ 0<{\log }_{3}x⩽4\end{array}$$ $$[\begin{array}{l}{\log }_{3}x⩽{\log }_3\frac{1}{9}\\ {\log }_{3}1<{\log }_{3}x⩽{\log }_{3}81\end{array}[\begin{array}{l}0<x⩽\frac{1}{9}\\ 1<x⩽81\end{array}$$

Таким образом, с учётом ОДЗ получаем:

$$x\in \left(0;\frac{1}{9}\right]\cup (1;81].$$