Решите неравенство (4)/(_2 x) - _2((4)/(x)) (38)/(_2 x^2).

Задача №18316: Неравенства

Запишем ОДЗ неравенства:

⎩ ⎨ ⎧ x > 0, lo g_{2} x \neq = 0, \frac{4}{x} > 0, x \neq = 0, lo g_{2} x^{2} \neq = 0, x^{2} > 0 \Rightarrow {x > 0, x \neq = 1.

Итоговая ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; + \infty) .$

Преобразуем неравенство на ОДЗ, используя свойства логарифмов:

\frac{4}{lo g _{2} x} - (lo g_{2} 4 - lo g_{2} x) ⩽ \frac{38}{2 lo g _{2} x},

\frac{4}{lo g _{2} x} - 2 + lo g_{2} x ⩽ \frac{19}{lo g _{2} x} .

Сделаем замену $lo g_{2} x = t$ и получим:

\frac{4}{t} - 2 + t ⩽ \frac{19}{t},

\frac{t ^{2} - 2 t + 4 - 19}{t} ⩽ 0,

\frac{t ^{2} - 2 t - 15}{t} ⩽ 0,

\frac{( t + 3 ) ( t - 5 )}{t} ⩽ 0.

Решим полученное неравенство методом интервалов. Отсюда получаем $t \in (- \infty; - 3] \cup (0; 5] .$

Сделаем обратную замену:

[t ⩽ - 3, 0 < t ⩽ 5; [lo g_{2} x ⩽ - 3, 0 < lo g_{2} x ⩽ 5;

[0 < x ⩽ \frac{1}{8}, 1 < x ⩽ 32; [lo g_{2} 1 < lo g_{2} x ⩽ lo g_{2} 32, lo g_{2} x ⩽ lo g_{2} \frac{1}{8} .

Таким образом, с учётом ОДЗ, получаем

x \in (0; \frac{1}{8}] \cup (1; 32] .