Задача №18315

Запишем ОДЗ неравенства:

$$\{\begin{array}{l}x>0\\ {\log }_{36}x\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>0\\ x\ne 1\end{array}$$

Итоговая ОДЗ: $x\in (0;1)\cup (1;+\infty )\text{.}$

Сделаем замену ${\log }_{36}x=t$ и получим:

$$(t+1)\cdot \left(\frac{1}{t}+1\right)⩽t$$ $$\frac{(t+1{)}^2}{t}-t⩽0$$ $$\frac{t^2+2t+1-t^2}{t}⩽0$$ $$\frac{2t+1}{t}⩽0$$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $t=-\frac{1}{2}$ и $t=0\text{.}$ Знак выражения отрицателен на промежутке между ними:

$$-\frac{1}{2}⩽t<0$$

Сделаем обратную замену и получим:

$$-\frac{1}{2}⩽{\log }_{36}x<0$$ $${\log }_{36}\frac{1}{6}⩽{\log }_{36}x<{\log }_{36}1$$ $$\frac{1}{6}⩽x<1$$

Таким образом,

$$x\in \left[\frac{1}{6};1\right).$$