В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 точка K — середина ребра B_1C_1. Плоскость alpha проходит через точки B, K и D. а) Докажите, что сечение куба плоскостью alpha является равнобедренной трапецией. б) Найдите расстояние от точки C_1 до плоскости alpha, если ребро куба равно 6.

а) Построим сечение куба плоскостью alpha. Так как точки B и K лежат в одной грани, то можем их соединить. Аналогично для точек B и D. Так как верхняя и нижняя грани лежат в параллельных плоскостях, то плоскость alpha пересекает верхнюю грань по прямой, параллельной прямой BD. Пусть плоскость alpha пересекает ребро C_1D_1 в точке P, тогда BD KP. При этом так как K — середина B_1C_1 и BD KP и по теореме Фалеса точка P — середина C_1D_1. Получили, что сечением куба плоскостью alpha является четырёхугольник BKPD. Из точек K и P опустим перпендикуляры на нижнюю грань куба. Пусть их основания — H_1 и H_2 соответственно. Пусть ребро куба 2x. Тогда BH_1 = B_1C = CH_2 = H_2D = x. По теореме Пифагора для треугольника BKH_1: BK^2 = KH_1^2 + BH_1^2, BK^2 = 4x^2 + x^2 = 5x^2. По теореме Пифагора для треугольника DPH_2: DP^2 = PH_2^2 + DH_2^2, DP^2 = 4x^2 + x^2 = 5x^2. Таким образом, BK = DP. Заметим, что KP является средней линией B_1C_1D_1, а значит, KP = (B_1D_1)/(2) = (BD)/(2), то есть KP != BD и BKPD не является параллелограммом. Следовательно, четырёхугольник BKPD является равнобедренной трапецией. б) Продлим отрезки DP и BK за точки P и K соответственно до пересечения с продолжением ребра CC_1. По теореме о трёх попарно пересекающихся плоскостях они пересекутся в одной точке, пусть это точка S. Проведём диагональ A_1C_1 верхней грани куба. Пусть она пересекает отрезок KP в точке E. Тогда C_1E KP. Более того, SC_1 KP, следовательно, (SEC_1) KP. В SC_1E опустим высоту C_1H. Получаем, что C_1H KP и C_1H SE, а значит, C_1H alpha, и длина C_1H есть искомое расстояние, равное 2.

б) \(2\).