В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 все рёбра равны 4. Точка K — середина ребра A_1B_1. а) Докажите, что сечение призмы плоскостью AKC является равнобедренной трапецией. б) Найдите расстояние от точки B до плоскости AKC.

Введём систему координат. Так как призма правильная, основание ABC — равносторонний треугольник со стороной 4, а боковые рёбра равны 4 и перпендикулярны основанию. Положим A=(0;0;0), B=(4;0;0), C=(2;2sqrt(3);0), A_1=(0;0;4), B_1=(4;0;4), C_1=(2;2sqrt(3);4). Точка K — середина A_1B_1, поэтому K=(2;0;4). а) Секущая плоскость AKC пересекает грани призмы. В грани AA_1B_1B она содержит точки A и K; продолжив, получаем, что плоскость пересекает призму по четырёхугольнику AKPC, где P — середина ребра B_1C_1 (по теореме Фалеса, так как K — середина A_1B_1). Тогда KP B_1C_1 BC AC, значит KP AC — четырёхугольник AKPC является трапецией с основаниями AC и KP. При этом по симметрии правильной призмы AK = CP, поэтому трапеция равнобедренная, что и требовалось доказать. б) Найдём расстояние от точки B=(4;0;0) до плоскости AKC. Векторы в плоскости: AK=(2;0;4), AC=(2;2sqrt(3);0). Нормаль плоскости: n=AK*AC=(0* 0-4* 2sqrt(3);4* 2-2* 0;2* 2sqrt(3)-0)=(-8sqrt(3);8;4sqrt(3)). Тогда |n|=sqrt((83)^2+8^2+(43)^2)=sqrt(192+64+48)=sqrt(304)=4sqrt(19). Расстояние: (B,AKC)=(|AB*n|)/(|n|), AB=(4;0;0), AB*n=4*(-8sqrt(3))=-32sqrt(3), |AB*n|=32sqrt(3). Окончательно (B,AKC)=(32sqrt(3))/(4sqrt(19))=(8sqrt(3))/(sqrt(19))=(8sqrt(57))/(19).

\(\dfrac{8\sqrt{57}}{19}\)