Задача №18313

В правильной треугольной призме $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ все рёбра равны 4. Точка $K$ — середина ребра $A_1{B}_1\text{.}$

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью $AKC$ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $AKC\text{.}$

Введём систему координат. Так как призма правильная, основание $ABC$ — равносторонний треугольник со стороной 4, а боковые рёбра равны 4 и перпендикулярны основанию. Положим

$$A=(0;0;0),B=(4;0;0),C=\left(2;2\sqrt{3};0\right),$$ $$A_1=(0;0;4),B_1=(4;0;4),C_1=\left(2;2\sqrt{3};4\right).$$

Точка $K$ — середина $A_1{B}_1\text{,}$ поэтому $K=(2;0;4)\text{.}$

а) Секущая плоскость $AKC$ пересекает грани призмы. В грани $A{A}_1{B}_{1}B$ она содержит точки $A$ и $K\text{;}$ продолжив, получаем, что плоскость пересекает призму по четырёхугольнику $AKPC\text{,}$ где $P$ — середина ребра $B_1{C}_1$ (по теореме Фалеса, так как $K$ — середина $A_1{B}_1$). Тогда $KP\parallel B_1{C}_1\parallel BC\parallel AC\text{,}$ значит $KP\parallel AC$ — четырёхугольник $AKPC$ является трапецией с основаниями $AC$ и $KP\text{.}$ При этом по симметрии правильной призмы $AK=CP\text{,}$ поэтому трапеция равнобедренная, что и требовалось доказать.

б) Найдём расстояние от точки $B=(4;0;0)$ до плоскости $AKC\text{.}$

Векторы в плоскости:

$$\overrightarrow{AK}=(2;0;4),\overrightarrow{AC}=\left(2;2\sqrt{3};0\right).$$

Нормаль плоскости:

$$\vec{n}=\overrightarrow{AK}\times \overrightarrow{AC}=\left(0\cdot 0-4\cdot 2\sqrt{3};4\cdot 2-2\cdot 0;2\cdot 2\sqrt{3}-0\right)=\left(-8\sqrt{3};8;4\sqrt{3}\right).$$

Тогда

$$|\vec{n}|=\sqrt{(8\sqrt{3}{)}^2+8^2+(4\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{192+64+48}=\sqrt{304}=4\sqrt{19}.$$

Расстояние:

$$\rho (B,AKC)=\frac{\left|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}\right|}{|\vec{n}|},\overrightarrow{AB}=(4;0;0),$$ $$\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}=4\cdot (-8\sqrt{3})=-32\sqrt{3},\left|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}\right|=32\sqrt{3}.$$

Окончательно

$$\rho (B,AKC)=\frac{32\sqrt{3}}{4\sqrt{19}}=\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{19}}=\frac{8\sqrt{57}}{19}.$$