В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 точка K — середина ребра B_1C_1 . Плоскость alpha проходит через точки B , K и D . а) Докажите, что сечение куба плоскостью alpha является равнобедренной трапецией. б) Найдите расстояние от точки C_1 до плоскости alpha , если ребро куба равно 3.

а) Построим сечение куба плоскостью alpha . Так как точки B и K лежат в одной грани, то можем их соединить. Аналогично для точек B и D . Так как верхняя и нижняя грани лежат в параллельных плоскостях, то плоскость alpha пересекает верхнюю грань по прямой, параллельной прямой BD . Пусть плоскость alpha пересекает ребро C_1D_1 в точке P , тогда BD KP . При этом так как K — середина B_1C_1 и BD , то KP B_1D_1 и по теореме Фалеса точка P — середина ребра C_1D_1 . Получили, что сечением куба плоскостью alpha является четырёхугольник BKPD . Из точек K и P опустим перпендикуляры на нижнюю грань куба. Пусть их основания H_1 и H_2 соответственно. Пусть ребро куба 2x . Тогда BH_1 = H_1C = CH_2 = H_2D = x. По теореме Пифагора для треугольника BKH_1 : BK^2 = KH_1^2 + BH_1^2, BK^2 = 4x^2 + x^2 = 5x^2. По теореме Пифагора для треугольника DPH_2 : DP^2 = PH_2^2 + DH_2^2, DP^2 = 4x^2 + x^2 = 5x^2. Таким образом, BK = DP . Заметим, что KP является средней линией B_1C_1D_1 , а значит, KP = (B_1D_1)/(2) = (BD)/(2) , то есть KP != BD и BKPD — равнобедренная трапеция. б) Продлим отрезки DP и BK за точки P и K соответственно до пересечения с продолжением ребра CC_1 . По теореме о трёх попарно пересекающихся плоскостях они пересекаются в одной точке. Обозначим её за S . Проведём диагональ A_1C_1 верхней грани куба. Она пересекает отрезок KP в точке E . Тогда C_1E KP . Более того, SC_1 KP , следовательно, (SEC_1) KP . В SC_1E опустим высоту C_1H . Получаем, что C_1H KP и C_1H SE , а значит, C_1H alpha . Искомое расстояние от точки C_1 до плоскости alpha равно длине C_1H . При ребре куба, равном 3, получаем C_1H = 1 .

б) \( 1 \)