В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 точка K -- середина ребра A_1B_1. Плоскость alpha проходит через точки A, K и C. а) Докажите, что сечением призмы плоскостью alpha является равнобедренная трапеция. б) Найдите расстояние от точки B до плоскости сечения, если все рёбра призмы равны 6.

а) Построим сечение правильной треугольной призмы плоскостью alpha. Так как точки A и K лежат в одной грани, то можем их соединить. Аналогично для точек A и C. Так как верхняя и нижняя грани лежат в параллельных плоскостях, то плоскость alpha пересекает верхнюю грань по прямой, параллельной прямой AC. Пусть плоскость alpha пересекает ребро B_1C_1 в точке P, тогда AC KP. При этом так как A_1C_1 AC и по теореме Фалеса точка P -- середина ребра B_1C_1. Получили, что сечением призмы плоскостью alpha является четырёхугольник AKPC. Так как призма правильная, то A_1B_1C_1 -- равносторонний треугольник, следовательно A_1K = KB_1 = C_1P = PB_1. По теореме Пифагора в прямоугольном CC_1P: CP^2 = CC_1^2 + C_1P^2. По теореме Пифагора в прямоугольном AA_1K: AK^2 = AA_1^2 + A_1K^2. А так как AA_1 = CC_1 и A_1K = C_1P, получаем, что AK = CP. Более того, KP является средней линией A_1B_1C_1, а значит, KP = (A_1C_1)/(2) = (AC)/(2), то есть KP != AC и AKPC не является параллелограммом. Тогда четырёхугольник AKPC является равнобедренной трапецией. б) Продлим отрезки CP и AK за точки P и K соответственно до пересечения с продолжением ребра BB_1. По теореме о трёх попарно пересекающихся плоскостях они пересекутся в одной точке. Обозначим её за S. В ABC опустим высоту BE. Тогда BE AC. Более того, так как SB (ABC), то SB AC. Следовательно, AC (SEB). В SBE опустим высоту BH. Получаем, что BH AC и BH SE, а значит, BH alpha. Вычислим. Пусть основание призмы -- равносторонний треугольник со стороной 6, высота призмы 6. Точка P -- середина B_1C_1, K -- середина A_1B_1. Прямые CP и AK пересекают продолжение BB_1 в точке S. Поскольку KP -- средняя линия верхнего основания, треугольник SKP подобен SAC с коэффициентом 12, откуда S лежит на продолжении BB_1 на расстоянии, дающем SB = 2BB_1 = 12. BE = (63)/(2) = 33 -- высота равностороннего треугольника со стороной 6. В прямоугольном SBE: SE = sqrt(SB^2 + BE^2) = sqrt(144 + 27) = sqrt(171) = 3sqrt(19). Расстояние от B до плоскости alpha -- высота BH прямоугольного треугольника SBE, опущенная на гипотенузу SE: BH = (SB * BE)/(SE) = (12 * 33)/(3sqrt(19)) = (123)/(sqrt(19)) = (36)/(sqrt(57)). Ответ: б) (36)/(sqrt(57)).

\(\dfrac{36}{\sqrt{57}}\)