В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 точка K — середина ребра B_1C_1. Плоскость alpha проходит через точки B, K и D. а) Докажите, что сечение куба плоскостью alpha является равнобедренной трапецией. б) Найдите расстояние от точки C до плоскости alpha, если ребро куба равно 6.

а) Построим сечение куба плоскостью alpha. Так как точки B и K лежат в одной грани, то можем их соединить. Аналогично для точек B и D. Так как верхняя и нижняя грани лежат в параллельных плоскостях, то плоскость alpha пересекает верхнюю грань по прямой, параллельной прямой BD. Пусть плоскость alpha пересекает ребро C_1D_1 в точке P, тогда BD KP. При этом так как K — середина B_1C_1 и BD KP, то по теореме Фалеса точка P — середина C_1D_1. Получили, что сечением куба плоскостью alpha является четырёхугольник BKPD. Из точек K и P опустим перпендикуляры на нижнюю грань куба. Пусть их основания H_1 и H_2 соответственно. Пусть ребро куба равно 2x. Тогда KH_1 = PH_2 = x, BH_1 = H_1C = CH_2 = H_2D = x. По теореме Пифагора для треугольника BKH_1: BK^2 = KH_1^2 + BH_1^2, BK^2 = 4x^2 + x^2 = 5x^2. По теореме Пифагора для треугольника DPH_2: DP^2 = PH_2^2 + DH_2^2, DP^2 = 4x^2 + x^2 = 5x^2. Таким образом, BK = DP. Так как KP является средней линией B_1C_1D_1, а значит, KP = (B_1D_1)/(2) = (BD)/(2), то есть KP != BD и BKPD не является параллелограммом. Следовательно, четырёхугольник BKPD является равнобедренной трапецией. б) Так как ребро куба равно 6, то x = 3. Расстояние от точки C до плоскости alpha равно 4. (Проверка координатным методом: A(0;0;0), B(6;0;0), C(6;6;0), D(0;6;0), K(6;3;6), P(3;6;6). Нормаль плоскости alpha: n = (-2;-2;1), уравнение -2x-2y+z+12=0. Расстояние от C(6;6;0): = (|-12-12+0+12|)/(sqrt(4+4+1)) = (12)/(3) = 4.)

б) \(4\)