Задача №18308

а) Построим сечение куба плоскостью $\alpha \text{.}$ Так как точки $B$ и $K$ лежат в одной грани, то можем их соединить. Аналогично для точек $B$ и $D\text{.}$ Так как верхняя и нижняя грани лежат в параллельных плоскостях, то плоскость $\alpha$ пересекает верхнюю грань по прямой, параллельной прямой $BD\text{.}$ Пусть плоскость $\alpha$ пересекает ребро $C_1{D}_1$ в точке $P\text{,}$ тогда $BD\parallel KP\text{.}$ При этом так как $K$ — середина $B_1{C}_1$ и $BD\parallel KP\text{,}$ то по теореме Фалеса точка $P$ — середина $C_1{D}_1\text{.}$ Получили, что сечением куба плоскостью $\alpha$ является четырёхугольник $BKPD\text{.}$

Из точек $K$ и $P$ опустим перпендикуляры на нижнюю грань куба. Пусть их основания $H_1$ и $H_2$ соответственно. Пусть ребро куба равно $2x\text{.}$ Тогда

$$K{H}_1=P{H}_2=x,B{H}_1=H_{1}C=C{H}_2=H_{2}D=x.$$

По теореме Пифагора для треугольника $BK{H}_1\text{:}$

$$B{K}^2=K{H}_1^2+B{H}_1^2,$$ $$B{K}^2=4x^2+x^2=5x^2.$$

По теореме Пифагора для треугольника $DP{H}_2\text{:}$

$$D{P}^2=P{H}_2^2+D{H}_2^2,$$ $$D{P}^2=4x^2+x^2=5x^2.$$

Таким образом, $BK=DP\text{.}$ Так как $KP$ является средней линией $△B_1{C}_1{D}_1\text{,}$ а значит, $KP=\frac{B_1{D}_1}{2}=\frac{BD}{2}\text{,}$ то есть $KP\ne BD$ и $BKPD$ не является параллелограммом. Следовательно, четырёхугольник $BKPD$ является равнобедренной трапецией.

б) Так как ребро куба равно $6\text{,}$ то $x=3\text{.}$ Расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$ равно $4\text{.}$

(Проверка координатным методом: $A(0;0;0)\text{,}$ $B(6;0;0)\text{,}$ $C(6;6;0)\text{,}$ $D(0;6;0)\text{,}$ $K(6;3;6)\text{,}$ $P(3;6;6)\text{.}$ Нормаль плоскости $\alpha \text{:}$ $\vec{n}=(-2;-2;1)\text{,}$ уравнение $-2x-2y+z+12=0\text{.}$ Расстояние от $C(6;6;0)\text{:}$

$$\rho =\frac{|-12-12+0+12|}{\sqrt{4+4+1}}=\frac{12}{3}=4.)$$