Задача №18298

а) Решите уравнение ${\log }_3(\sin 2x)={\log }_3\left(\sqrt{3}\cos x\right)\text{.}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi ;-\frac{3\pi }{2}\right]\text{.}$

а) Уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}\sin 2x=\sqrt{3}\cos x,\\ \sqrt{3}\cos x>0;\end{array}\{\begin{array}{l}2\sin x\cos x=\sqrt{3}\cos x,\\ \cos x>0;\end{array}$$ $$\{\begin{array}{l}\cos x\left(2\sin x-\sqrt{3}\right)=0,\\ \cos x>0.\end{array}$$

Так как $\cos x>0\text{,}$ то $\cos x\ne 0\text{,}$ значит $2\sin x-\sqrt{3}=0\text{,}$ то есть

$$\{\begin{array}{l}2\sin x-\sqrt{3}=0,\\ \cos x>0.\end{array}$$

Отсюда $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{.}$ С учётом условия $\cos x>0$ получаем

$$x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi ;-\frac{3\pi }{2}\right]\text{.}$ Решим неравенство

$$-3\pi ⩽\frac{\pi }{3}+2\pi k⩽-\frac{3\pi }{2}.$$

Разделив на $\pi$ и вычтя $\frac{1}{3}\text{,}$ получим

$$-\frac{10}{3}⩽2k⩽-\frac{11}{6},-\frac{5}{3}⩽k⩽-\frac{11}{12}.$$

В этом промежутке лежит единственное целое $k=-1\text{,}$ которому соответствует корень

$$x=\frac{\pi }{3}-2\pi =-\frac{5\pi }{3}.$$

Ответ: а) $\frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{;}$\quad б) $-\frac{5\pi }{3}\text{.}$