Задача №18297

а) Уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}\sin 2x=\sqrt{2}\cos x,\\ \sqrt{2}\cos x>0;\end{array}\{\begin{array}{l}2\sin x\cos x=\sqrt{2}\cos x,\\ \cos x>0;\end{array}$$ $$\{\begin{array}{l}\cos x\left(2\sin x-\sqrt{2}\right)=0,\\ \cos x>0;\end{array}\{\begin{array}{l}2\sin x-\sqrt{2}=0,\\ \cos x>0;\end{array}$$ $$\{\begin{array}{l}\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2},\\ \cos x>0.\end{array}$$

Отсюда

$$\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z},\\ x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z},\end{array}\\ \cos x>0.\end{array}$$

Выделим на окружности промежуток, на котором $\cos x>0\text{,}$ и отметим полученные серии. Серия $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ даёт $\cos x<0$ и не удовлетворяет условию. Остаётся

$$x=\frac{\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right]\text{:}$

$$-\pi ⩽\frac{\pi }{4}+2\pi k⩽\frac{\pi }{2}.$$

При $k=0$ получаем $x=\frac{\pi }{4}$ — единственный корень на отрезке.