а) Решите уравнение _2(sin 2x) = _2(sqrt(2)cos x). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-pi; (pi)/(2)].

а) Уравнение равносильно системе cases sin 2x = sqrt(2)cos x, sqrt(2)cos x > 0; cases cases 2sin x cos x = sqrt(2)cos x, cos x > 0; cases cases cos x(2sin x - sqrt(2)) = 0, cos x > 0; cases cases 2sin x - sqrt(2) = 0, cos x > 0; cases cases sin x = (sqrt(2))/(2), cos x > 0. cases Отсюда cases [arrayl x = (pi)/(4) + 2pi k, k in Z, x = (3pi)/(4) + 2pi k, k in Z, array. cos x > 0. cases Выделим на окружности промежуток, на котором cos x > 0, и отметим полученные серии. Серия x = (3pi)/(4) + 2pi k даёт cos x < 0 и не удовлетворяет условию. Остаётся x = (pi)/(4) + 2pi k, k in Z. б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [-pi; (pi)/(2)]: -pi (pi)/(4) + 2pi k (pi)/(2). При k = 0 получаем x = (pi)/(4) — единственный корень на отрезке.

а) \(x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\); \quad б) \(\dfrac{\pi}{4}\).