Задача №18296

а) Воспользуемся формулой синуса разности:

$$\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{4}-\cos x\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sin x-\cos x\right).$$

Тогда наше уравнение примет вид:

$${\cos }^{2}x+{\sin }^2\left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2},$$ $${\cos }^{2}x+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sin x-\cos x\right)\right)}^2=\frac{1}{2},$$ $${\cos }^{2}x+\frac{1}{2}\left({\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x\right)=\frac{1}{2}.$$

Поскольку по ОТТ имеем ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1\text{,}$ то получим:

$${\cos }^{2}x+\frac{1}{2}\left(1-2\sin x\cos x\right)=\frac{1}{2},$$ $$2{\cos }^{2}x+1-2\sin x\cos x=1,$$ $$2{\cos }^{2}x-2\sin x\cos x=0,$$ $$2\cos x\left(\cos x-\sin x\right)=0,$$ $$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \cos x-\sin x=0.\end{array}$$

Заметим, что второе равенство не обращается в верное при $\cos x=0\text{,}$ а значит, на $\cos x$ можно разделить:

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ 1-\mathrm{tg}x=0;\end{array}[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z},\\ \mathrm{tg}x=1;\end{array}[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z},\\ x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $[5\pi ;6\pi ]\text{.}$

Для серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi k\text{:}$ при $k=5$ получаем $x=\frac{\pi }{2}+5\pi =\frac{11\pi }{2}\text{.}$ Так как $5\pi ⩽\frac{11\pi }{2}⩽6\pi \text{,}$ корень подходит.

Для серии $x=\frac{\pi }{4}+\pi k\text{:}$ при $k=5$ получаем $x=\frac{\pi }{4}+5\pi =\frac{21\pi }{4}\text{.}$ Так как $5\pi ⩽\frac{21\pi }{4}⩽6\pi \text{,}$ корень подходит.

Итого отрезку $[5\pi ;6\pi ]$ принадлежат корни $\frac{21\pi }{4}$ и $\frac{11\pi }{2}\text{.}$