а) Решите уравнение cos^2 x + sin^2(x - (pi)/(4)) = (1)/(2). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5pi;6pi].

а) Воспользуемся формулой синуса разности: sin(x - (pi)/(4)) = sin x cos(pi)/(4) - cos x sin(pi)/(4) = (sqrt(2))/(2)sin x - (sqrt(2))/(2)cos x = (sqrt(2))/(2)(sin x - cos x). Тогда наше уравнение примет вид: cos^2 x + sin^2(x - (pi)/(4)) = (1)/(2), cos^2 x + ((sqrt(2))/(2)(sin x - cos x))^2 = (1)/(2), cos^2 x + (1)/(2)(sin^2 x - 2sin x cos x + cos^2 x) = (1)/(2). Поскольку по ОТТ имеем sin^2 x + cos^2 x = 1, то получим: cos^2 x + (1)/(2)(1 - 2sin x cos x) = (1)/(2), 2cos^2 x + 1 - 2sin x cos x = 1, 2cos^2 x - 2sin x cos x = 0, 2cos x (cos x - sin x) = 0, [arraylcos x = 0, cos x - sin x = 0.array. Заметим, что второе равенство не обращается в верное при cos x = 0, а значит, на cos x можно разделить: [arraylcos x = 0, 1 - tg x = 0;array. [arraylx = (pi)/(2) + pi k, kinZ, tg x = 1;array. [arraylx = (pi)/(2) + pi k, kinZ, x = (pi)/(4) + pi k, kinZ.array. б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [5pi;6pi]. Для серии x = (pi)/(2) + pi k: при k = 5 получаем x = (pi)/(2) + 5pi = (11pi)/(2). Так как 5pi (11pi)/(2) 6pi, корень подходит. Для серии x = (pi)/(4) + pi k: при k = 5 получаем x = (pi)/(4) + 5pi = (21pi)/(4). Так как 5pi (21pi)/(4) 6pi, корень подходит. Итого отрезку [5pi;6pi] принадлежат корни (21pi)/(4) и (11pi)/(2).

а) \(\dfrac{\pi}{2} + \pi k;\ \dfrac{\pi}{4} + \pi k,\ k\in\mathbb{Z}\);\ б) \(\dfrac{21\pi}{4};\ \dfrac{11\pi}{2}\).