Задача №18295

а) Воспользуемся формулой косинуса суммы:

$$\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\cos x\cdot \cos \frac{\pi }{4}-\sin x\cdot \sin \frac{\pi }{4}=\cos x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\sin x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos x-\sin x\right).$$

Тогда наше уравнение примет вид:

$${\sin }^{2}x+{\cos }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}$$ $${\sin }^{2}x+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos x-\sin x\right)\right)}^2=\frac{1}{2}$$ $${\sin }^{2}x+\frac{1}{2}\left({\cos }^{2}x-2\cos x\cdot \sin x+{\sin }^{2}x\right)=\frac{1}{2}.$$

Поскольку по ОТТ имеем ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1\text{,}$ то получим:

$${\sin }^{2}x+\frac{1}{2}\left(1-2\sin x\cdot \cos x\right)=\frac{1}{2}$$ $$2{\sin }^{2}x+1-2\sin x\cdot \cos x=1$$ $$2{\sin }^{2}x-2\sin x\cdot \cos x=0$$ $$2\sin x\left(\sin x-\cos x\right)=0$$ $$[\begin{array}{l}\sin x=0\\ \sin x-\cos x=0.\end{array}$$

Заметим, что второе равенство не обращается в верное при $\sin x=0\text{,}$ а значит, на $\sin x$ можно разделить:

$$[\begin{array}{l}\sin x=0\\ \mathrm{ctg}x=1\end{array}⟺[\begin{array}{l}x=\pi k,k\in \mathbb{Z}\\ x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Отберём корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $\left[\frac{13\pi }{2};\frac{15\pi }{2}\right]\text{,}$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

Длина отрезка равна $\frac{15\pi }{2}-\frac{13\pi }{2}=\pi \text{.}$ На этом отрезке лежат корни $x=7\pi$ (так как $\frac{13\pi }{2}=6,5\pi ⩽7\pi ⩽7,5\pi =\frac{15\pi }{2}$) и $x=\frac{29\pi }{4}=7,25\pi$ (поскольку $6,5\pi ⩽7,25\pi ⩽7,5\pi$).

Ответ: а) $\frac{\pi }{4}+\pi k,\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{;}$ б) $\frac{29\pi }{4};7\pi \text{.}$