а) Решите уравнение sin^2 x + cos^2(x + (pi)/(4)) = (1)/(2). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [(13pi)/(2); (15pi)/(2)].

а) Воспользуемся формулой косинуса суммы: cos(x + (pi)/(4)) = cos x * cos(pi)/(4) - sin x * sin(pi)/(4) = cos x * (sqrt(2))/(2) - sin x * (sqrt(2))/(2) = (sqrt(2))/(2)(cos x - sin x). Тогда наше уравнение примет вид: sin^2 x + cos^2(x + (pi)/(4)) = (1)/(2) sin^2 x + ((sqrt(2))/(2)(cos x - sin x))^2 = (1)/(2) sin^2 x + (1)/(2)(cos^2 x - 2cos x * sin x + sin^2 x) = (1)/(2). Поскольку по ОТТ имеем cos^2 x + sin^2 x = 1, то получим: sin^2 x + (1)/(2)(1 - 2sin x * cos x) = (1)/(2) 2sin^2 x + 1 - 2sin x * cos x = 1 2sin^2 x - 2sin x * cos x = 0 2sin x(sin x - cos x) = 0 [ arrayl sin x = 0 sin x - cos x = 0. array . Заметим, что второе равенство не обращается в верное при sin x = 0, а значит, на sin x можно разделить: [ arrayl sin x = 0 ctg x = 1 array . [ arrayl x = pi k, k in Z x = (pi)/(4) + pi k, k in Z. array . б) Отберём корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку [(13pi)/(2); (15pi)/(2)], концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а). Длина отрезка равна (15pi)/(2) - (13pi)/(2) = pi. На этом отрезке лежат корни x = 7pi (так как (13pi)/(2) = 6,5pi 7pi 7,5pi = (15pi)/(2)) и x = (29pi)/(4) = 7,25pi (поскольку 6,5pi 7,25pi 7,5pi). Ответ: а) (pi)/(4) + pi k, pi k, k in Z; б) (29pi)/(4); 7pi.

а) \(\dfrac{\pi}{4} + \pi k,\ \pi k,\ k \in \mathbb{Z}\); б) \(\dfrac{29\pi}{4};\ 7\pi\).