На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел независимо друг от друга проводят одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на 7 и уменьшают цифру в разряде единиц на 6, либо уменьшают цифру в разряде десятков на 8 и увеличивают цифру в разряде единиц на 8. Во всех случаях получаются двузначные натуральные числа. а) Могла ли сумма исходных чисел оказаться на 124 меньше суммы получившихся чисел? б) Может ли количество чисел на доске равняться 50, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел? в) Какое наименьшее количество чисел могло быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и больше 3210?

Пусть исходное двузначное число записано в виде N=10a+b, где a — цифра десятков (1<= a<= 9), b — цифра единиц (0<= b<= 9). Разберём, как меняется число при каждой операции и для каких чисел операция вообще возможна (результат снова должен быть двузначным натуральным числом). Операция 1 (десятки +7, единицы -6). Новое число равно 10(a+7)+(b-6)=N+70-6=N+64. Условия применимости: a+7<= 9 и b-6>= 0, то есть a<= 2 и b>= 6. Значит, операция 1 применима лишь к числам 16, 17, 18, 19, 26, 27, 28, 29, и каждый раз число увеличивается ровно на 64. Операция 2 (десятки -8, единицы +8). Новое число равно 10(a-8)+(b+8)=N-80+8=N-72. Условия применимости: a-8>= 1 и b+8<= 9, то есть a=9 и b<= 1. Значит, операция 2 применима лишь к числам 90 и 91, и каждый раз число уменьшается ровно на 72. Пусть всего на доске n чисел; к x из них применили операцию 1, а к y — операцию 2, причём x+y=n. Тогда изменение суммы (сумма получившихся минус сумма исходных) равно =64x-72y. а) Требуется, чтобы сумма исходных оказалась на 124 меньше суммы получившихся, то есть =124: 64x-72y=124. Левая часть делится на 8, так как 64=8* 8 и 72=8* 9, поэтому 64x-72y=8(8x-9y) кратно 8. Но 124=8* 15+4 на 8 не делится. Следовательно, равенство невозможно ни при каких целых неотрицательных x,y. Значит, сумма исходных чисел не могла оказаться на 124 меньше суммы получившихся. б) Сумма исходных равна сумме получившихся, то есть =0: 64x-72y=0=>8x=9y. Числа 8 и 9 взаимно просты, поэтому x делится на 9, а y делится на 8: x=9k, y=8k при некотором целом k>= 0. Тогда n=x+y=9k+8k=17k. Значит, общее количество чисел обязано делиться на 17. Но 50 на 17 не делится (50=17* 2+16). Следовательно, чисел на доске не может быть ровно 50. в) Сумма исходных равна сумме получившихся, поэтому, как и в пункте б), n=17k, где x=9k чисел подвергаются операции 1, а y=8k — операции 2 (k>= 1). Оценка. Числа, к которым применяют операцию 1, не превосходят 29; числа, к которым применяют операцию 2, не превосходят 91. Поэтому сумма всех чисел на доске не больше S<= 29x+91y=29* 9k+91* 8k=261k+728k=989k. По условию S>3210, значит 989k>3210=>k>(3210)/(989)~ 3,25=>k>= 4. Поэтому n=17k>= 17* 4=68. В частности, при k=3 (то есть при n=51) максимально возможная сумма равна 989* 3=2967<3210, так что меньше 68 чисел быть не может. Пример при n=68. Возьмём k=4: пусть на доске записаны 36 чисел 29 (к ним применяют операцию 1) и 32 числа 91 (к ним применяют операцию 2). Всего чисел 36+32=68. Сумма исходных чисел равна 29* 36+91* 32=1044+2912=3956>3210. После операций: каждое 29 превращается в 29+64=93, каждое 91 — в 91-72=19. Сумма получившихся чисел равна 93* 36+19* 32=3348+608=3956, то есть совпадает с суммой исходных. Все условия выполнены. Таким образом, наименьшее возможное количество чисел равно 68. Ответ: а) нет; б) нет; в) 68.

а) Нет; б) Нет; в) 68