На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 3, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше -72. Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек. а) Может ли на столе лежать ровно четыре карточки? б) Может ли число красных карточек на столе быть на 60 больше числа синих карточек на столе? в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?

Обозначим через B количество синих карточек, а через R — количество красных карточек; по условию B>= 1 и R>= 1. Условие даёт две связи: наибольшее красное число=2B, наибольшее синее число=R. Получим два ключевых ограничения. Ограничение на красные карточки. На красных карточках написаны различные чётные числа, все они больше -72, а наибольшее из них равно 2B. Значит, все красные числа лежат среди чётных чисел из промежутка от -70 до 2B (число -72 брать нельзя, так как все числа строго больше -72; ближайшее допустимое чётное число — это -70). Чётных чисел в этом наборе -70, -68, , 2B ровно (2B-(-70))/(2)+1=(2B+70)/(2)+1=B+36. Так как красных карточек R штук и числа на них различны, то R<= B+36. (1) Ограничение на синие карточки. На синих карточках написаны различные числа, делящиеся на 3, все они больше -72, а наибольшее из них равно R. Значит, все синие числа лежат среди кратных трём из промежутка от -69 до R (число -72 кратно трём, но брать его нельзя, так как все числа строго больше -72; ближайшее допустимое кратное трём — это -69). Отсюда, кстати, R делится на 3. Кратных трём в наборе -69, -66, , R ровно (R-(-69))/(3)+1=(R+69)/(3)+1=(R)/(3)+24. Так как синих карточек B штук и числа на них различны, то B<= (R)/(3)+24, то есть 3B-R<= 72. (2) Эти ограничения будем использовать во всех пунктах. а) Покажем, что четыре карточки лежать могут. Возьмём B=1 синюю карточку и R=3 красные карточки; всего 1+3=4 карточки. Тогда наибольшее красное число должно равняться 2B=2, а наибольшее синее — равняться R=3. Пример. На единственной синей карточке напишем число 3 (оно делится на 3, больше -72, и оно же — наибольшее синее, равно R=3). На трёх красных карточках напишем различные чётные числа -2, 0, 2, все они больше -72, различны, а наибольшее из них равно 2=2B. Все условия выполнены. Значит, ровно четыре карточки лежать могут. б) Предположим, что красных карточек на 60 больше, чем синих, то есть R=B+60. Тогда R-B=60. Но по ограничению (1) для красных карточек R<= B+36, то есть R-B<= 36. Получаем 60=R-B<= 36, что невозможно. Содержательно: чтобы написать на красных карточках R различных чётных чисел, не превосходящих 2B и больших -72, их должно хватать, а таких чисел всего B+36; значит, красных карточек не может быть больше чем на 36 больше синих, а не на 60. Значит, красных карточек не может быть на 60 больше, чем синих. в) Требуется найти наибольшее возможное значение B+R. Сложим оценки. По неравенствам (1) и (2): R<= B+36, 3B<= R+72. Из первого R-B<= 36; подставим в удобной форме. Из (2) имеем R>= 3B-72, а из (1) R<= B+36. Чтобы оба неравенства были совместны при наибольшем B, нужно 3B-72<= R<= B+36. В частности 3B-72<= B+36, откуда 2B<= 108, то есть B<= 54. Тогда из (1) и (2) B+R<= B+(B+36)=2B+36<= 2* 54+36=144. Итак, общее число карточек не превосходит 144. Покажем, что значение 144 достигается. Возьмём B=54 и R=90 (тогда B+R=144, а R=90 делится на 3). Наибольшее красное число должно равняться 2B=108, наибольшее синее — равняться R=90. Синие карточки: возьмём все кратные трём от -69 до 90: -69, -66, , 87, 90. Их количество (90-(-69))/(3)+1=53+1=54=B; все числа различны, делятся на 3, больше -72, а наибольшее равно 90=R. Всё верно. Красные карточки: возьмём все чётные от -70 до 108: -70, -68, , 106, 108. Их количество (108-(-70))/(2)+1=89+1=90=R; все числа различны, чётны, больше -72, а наибольшее равно 108=2B. Всё верно. Таким образом, конфигурация из 54 синих и 90 красных карточек удовлетворяет всем условиям, и всего на столе 144 карточки. Следовательно, наибольшее количество карточек равно 144. Ответ: а) да; б) нет; в) 144.

а) Да; б) Нет; в) 144