Задача №18056

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$a{x}^4+x^3+(a^3-2a)x^2+(a^2-2)x=a{x}^3+x^2+(a^3-2a)x+a^2-2$$

имеет ровно два различных корня.

Перенесём все слагаемые в левую часть и сгруппируем. Запишем

$$a{x}^4+x^3+(a^3-2a)x^2+(a^2-2)x-a{x}^3-x^2-(a^3-2a)x-(a^2-2)=0.$$

Сгруппируем слагаемые по парам, выделяя общие множители:

$$a{x}^3(x-1)+x^2(x-1)+(a^3-2a)x(x-1)+(a^2-2)(x-1)=0,$$ $$(x-1)[a{x}^3+x^2+(a^3-2a)x+(a^2-2)]=0.$$

Разложим квадратную скобку. Сгруппируем в ней слагаемые:

$$a{x}^3+x^2+(a^3-2a)x+(a^2-2)=x^2(ax+1)+(a^2-2)(ax+1)=(ax+1)(x^2+a^2-2).$$

Таким образом уравнение равносильно

$$(x-1)(ax+1)(x^2+a^2-2)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулю равен хотя бы один из множителей. Рассмотрим корни, которые даёт каждый множитель.

1) Множитель $x-1$ при любом $a$ даёт ровно один корень $x=1\text{.}$

2) Множитель $ax+1\text{.}$ При $a=0$ он равен $1$ и корней не даёт. При $ae0$ он даёт ровно один корень $x=-\frac{1}{a}\text{.}$

3) Множитель $x^2+a^2-2\text{,}$ то есть $x^2=2-a^2\text{:}$
— при $a^2>2$ ($|a|>\sqrt{2}$) правая часть отрицательна, действительных корней нет;
— при $a^2=2$ ($a=\pm \sqrt{2}$) есть ровно один корень $x=0\text{;}$
— при $a^2<2$ ($|a|<\sqrt{2}$) есть два различных корня $x=\pm \sqrt{2-a^2}\text{.}$

Нам нужно, чтобы у исходного уравнения было ровно два различных корня. Подсчитаем число различных корней, объединяя три множества и учитывая возможные совпадения. Выясним сначала, когда корни разных множителей совпадают.

— $x=-\frac{1}{a}$ совпадает с $x=1$ тогда и только тогда, когда $-\frac{1}{a}=1\text{,}$ то есть $a=-1\text{.}$

— $x=1$ является корнем третьего множителя, когда $1=2-a^2\text{,}$ то есть $a^2=1\text{,}$ $a=\pm 1\text{.}$

— $x=-\frac{1}{a}$ является корнем третьего множителя, когда $\frac{1}{a^2}=2-a^2\text{;}$ умножая на $a^2\text{,}$ получаем $a^4-2a^2+1=0\text{,}$ то есть $(a^2-1{)}^2=0\text{,}$ $a=\pm 1\text{.}$

Итак, все совпадения корней разных множителей возможны только при $a=1$ или $a=-1\text{.}$ При остальных $a$ корни разных множителей различны, и общее число различных корней есть сумма числа корней по множителям.

Разберём случаи.

Случай $|a|>\sqrt{2}\text{.}$ Третий множитель корней не даёт; первый даёт $x=1\text{,}$ второй (здесь $ae0$) даёт $x=-\frac{1}{a}\text{.}$ Поскольку при таких $a$ (в частности $ae-1$) эти корни различны, получаем ровно два различных корня. Подходит.

Случай $a=\pm \sqrt{2}\text{.}$ Корни: $x=1\text{,}$ $x=-\frac{1}{a}=\mp \frac{1}{\sqrt{2}}$ и единственный корень третьего множителя $x=0\text{.}$ Все три различны — получается три различных корня. Не подходит.

Случай $1<|a|<\sqrt{2}\text{.}$ Третий множитель даёт два различных корня $\pm \sqrt{2-a^2}$ (оба ненулевые, так как $2-a^{2}e0$); добавляются $x=1$ и $x=-\frac{1}{a}\text{,}$ отличные от них и друг от друга ($ae\pm 1$). Итого четыре различных корня. Не подходит.

Случай $0<|a|<1\text{.}$ Третий множитель даёт два различных корня $\pm \sqrt{2-a^2}\text{;}$ первый и второй дают $x=1$ и $x=-\frac{1}{a}\text{,}$ которые при $ae\pm 1$ от них отличаются. Итого четыре различных корня. Не подходит.

Случай $a=0\text{.}$ Корни: $x=1$ и $x=\pm \sqrt{2}$ — три различных корня. Не подходит.

Случай $a=1\text{.}$ Уравнение принимает вид

$$(x-1)(x+1)(x^2-1)=(x-1{)}^2(x+1{)}^2=0,$$

откуда множество корней — $\{-1;1\}\text{,}$ ровно два различных корня. Подходит.

Случай $a=-1\text{.}$ Уравнение принимает вид

$$(x-1)(-x+1)(x^2-1)=-(x-1{)}^3(x+1)=0,$$

откуда множество корней — $\{-1;1\}\text{,}$ ровно два различных корня. Подходит.

Объединяя все случаи, в которых получилось ровно два различных корня, получаем

$$a\in (-\infty ;-\sqrt{2})\cup \{-1;1\}\cup (\sqrt{2};+\infty ).$$

Ответ: $a\in (-\infty ;-\sqrt{2})\cup \{-1;1\}\cup (\sqrt{2};+\infty )\text{.}$