Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение ax^4 + x^3 + (a^3-2a)x^2 + (a^2-2)x = ax^3 + x^2 + (a^3-2a)x + a^2 - 2 имеет ровно два различных корня.

Перенесём все слагаемые в левую часть и сгруппируем. Запишем ax^4 + x^3 + (a^3-2a)x^2 + (a^2-2)x - ax^3 - x^2 - (a^3-2a)x - (a^2-2) = 0. Сгруппируем слагаемые по парам, выделяя общие множители: a x^3(x-1) + x^2(x-1) + (a^3-2a)x(x-1) + (a^2-2)(x-1) = 0, (x-1)[a x^3 + x^2 + (a^3-2a)x + (a^2-2)] = 0. Разложим квадратную скобку. Сгруппируем в ней слагаемые: a x^3 + x^2 + (a^3-2a)x + (a^2-2) = x^2(ax+1) + (a^2-2)(ax+1) = (ax+1)(x^2 + a^2 - 2). Таким образом уравнение равносильно (x-1)(ax+1)(x^2 + a^2 - 2) = 0. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулю равен хотя бы один из множителей. Рассмотрим корни, которые даёт каждый множитель. 1) Множитель x-1 при любом a даёт ровно один корень x = 1. 2) Множитель ax+1. При a = 0 он равен 1 и корней не даёт. При a e 0 он даёт ровно один корень x = -(1)/(a). 3) Множитель x^2 + a^2 - 2, то есть x^2 = 2 - a^2: — при a^2 > 2 (|a| > sqrt(2)) правая часть отрицательна, действительных корней нет; — при a^2 = 2 (a = +-sqrt(2)) есть ровно один корень x = 0; — при a^2 < 2 (|a| < sqrt(2)) есть два различных корня x = +-sqrt(2 - a^2). Нам нужно, чтобы у исходного уравнения было ровно два различных корня. Подсчитаем число различных корней, объединяя три множества и учитывая возможные совпадения. Выясним сначала, когда корни разных множителей совпадают. — x = -(1)/(a) совпадает с x = 1 тогда и только тогда, когда -(1)/(a) = 1, то есть a = -1. — x = 1 является корнем третьего множителя, когда 1 = 2 - a^2, то есть a^2 = 1, a = +- 1. — x = -(1)/(a) является корнем третьего множителя, когда (1)/(a^2) = 2 - a^2; умножая на a^2, получаем a^4 - 2a^2 + 1 = 0, то есть (a^2-1)^2 = 0, a = +- 1. Итак, все совпадения корней разных множителей возможны только при a = 1 или a = -1. При остальных a корни разных множителей различны, и общее число различных корней есть сумма числа корней по множителям. Разберём случаи. Случай |a| > sqrt(2). Третий множитель корней не даёт; первый даёт x = 1, второй (здесь a e 0) даёт x = -(1)/(a). Поскольку при таких a (в частности a e -1) эти корни различны, получаем ровно два различных корня. Подходит. Случай a = +-sqrt(2). Корни: x = 1, x = -(1)/(a) = -+(1)/(sqrt(2)) и единственный корень третьего множителя x = 0. Все три различны — получается три различных корня. Не подходит. Случай 1 < |a| < sqrt(2). Третий множитель даёт два различных корня +-sqrt(2-a^2) (оба ненулевые, так как 2 - a^2 e 0); добавляются x = 1 и x = -(1)/(a), отличные от них и друг от друга (a e +-1). Итого четыре различных корня. Не подходит. Случай 0 < |a| < 1. Третий множитель даёт два различных корня +-sqrt(2-a^2); первый и второй дают x = 1 и x = -(1)/(a), которые при a e +-1 от них отличаются. Итого четыре различных корня. Не подходит. Случай a = 0. Корни: x = 1 и x = +-sqrt(2) — три различных корня. Не подходит. Случай a = 1. Уравнение принимает вид (x-1)(x+1)(x^2-1) = (x-1)^2(x+1)^2 = 0, откуда множество корней — -1;1, ровно два различных корня. Подходит. Случай a = -1. Уравнение принимает вид (x-1)(-x+1)(x^2-1) = -(x-1)^3(x+1) = 0, откуда множество корней — -1;1, ровно два различных корня. Подходит. Объединяя все случаи, в которых получилось ровно два различных корня, получаем a in (-inf;-sqrt(2)) U -1;1 U (sqrt(2);+inf). Ответ: a in (-inf;-sqrt(2)) U -1;1 U (sqrt(2);+inf).