Задача №18055

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$x^4-7x^3+14x^2-8x+a(x-1)x=5x^3-35x^2+70x-40+5a(x-1)$$

имеет ровно два различных корня.

Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём подобные:

$$x^4-7x^3+14x^2-8x+a(x-1)x-5x^3+35x^2-70x+40-5a(x-1)=0,$$ $$x^4-12x^3+49x^2-78x+40+a[(x-1)x-5(x-1)]=0.$$

Слагаемое с параметром сворачивается:

$$(x-1)x-5(x-1)=(x-1)(x-5).$$

Многочлен без параметра тоже разложим. Заметим, что $x=1$ и $x=5$ — его корни (при $x=1\text{:}$ $1-12+49-78+40=0\text{;}$ при $x=5\text{:}$ $625-1500+1225-390+40=0$). Поэтому

$$x^4-12x^3+49x^2-78x+40=(x-1)(x-5)(x^2-6x+8),$$

что проверяется делением (а множитель $x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$ даёт оставшиеся корни $2$ и $4$).

Таким образом, уравнение приводится к виду

$$(x-1)(x-5)(x^2-6x+8)+a(x-1)(x-5)=0,$$ $$(x-1)(x-5)(x^2-6x+8+a)=0.$$

Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель. Линейные множители дают корни

$$x=1\text{и}x=5,$$

которые присутствуют при любом значении $a$ и различны между собой. Значит, у уравнения всегда есть как минимум два различных корня — $1$ и $5\text{.}$

Остаётся рассмотреть квадратный множитель

$$q(x)=x^2-6x+(8+a)=0.$$

Его дискриминант

$$D=36-4(8+a)=4-4a=4(1-a),$$

а корни (когда они действительны) равны $x=3\pm \sqrt{1-a}\text{.}$

Уравнение имеет ровно два различных корня тогда и только тогда, когда квадратный множитель не добавляет к набору $\{1;5\}$ ни одного нового значения. Разберём случаи по знаку дискриминанта.

1) $a>1\text{.}$ Тогда $D<0\text{,}$ и квадратное уравнение действительных корней не имеет. Остаются только корни $1$ и $5$ — ровно два различных. Подходит каждое $a>1\text{.}$

2) $a=1\text{.}$ Тогда $D=0$ и квадратное уравнение даёт двукратный корень $x=3\text{,}$ которого нет среди $\{1;5\}\text{.}$ Получаем три различных корня: $1\text{,}$ $3\text{,}$ $5\text{.}$ Не подходит.

3) $a<1\text{.}$ Тогда $D>0$ и квадратное уравнение имеет два различных действительных корня $x=3-\sqrt{1-a}$ и $x=3+\sqrt{1-a}\text{.}$ Чтобы общее число различных корней осталось равным двум, оба этих корня обязаны совпадать с уже имеющимися значениями $1$ и $5\text{.}$ Так как корни квадратного множителя различны, единственная возможность — это набор $\{1;5\}\text{,}$ то есть

$$x^2-6x+(8+a)=(x-1)(x-5)=x^2-6x+5.$$

Сравнивая свободные члены, получаем $8+a=5\text{,}$ откуда $a=-3$ (сумма корней $1+5=6$ при этом совпадает автоматически). Проверим: при $a=-3$

$$q(x)=x^2-6x+5=(x-1)(x-5),$$

и уравнение принимает вид $(x-1{)}^2(x-5{)}^2=0$ — ровно два различных корня $1$ и $5\text{.}$ Подходит.

Если же при $a<1$ хотя бы один корень квадратного множителя отличен от $1$ и $5\text{,}$ различных корней становится не меньше трёх. Условия $q(1)=0$ и $q(5)=0$ оба дают $a=-3$ (поскольку $q(1)=q(5)=8+a-5=a+3$), поэтому других «согласующих» значений $a$ при $a<1$ нет.

Объединяя случаи 1 и 3, получаем, что уравнение имеет ровно два различных корня при $a=-3$ и при всех $a>1\text{.}$

Ответ: $a\in \{-3\}\cup (1;+\infty )\text{.}$