Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x^4 - 7x^3 + 14x^2 - 8x + a(x-1)x = 5x^3 - 35x^2 + 70x - 40 + 5a(x-1) имеет ровно два различных корня.

Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём подобные: x^4 - 7x^3 + 14x^2 - 8x + a(x-1)x - 5x^3 + 35x^2 - 70x + 40 - 5a(x-1) = 0, x^4 - 12x^3 + 49x^2 - 78x + 40 + a[(x-1)x - 5(x-1)] = 0. Слагаемое с параметром сворачивается: (x-1)x - 5(x-1) = (x-1)(x-5). Многочлен без параметра тоже разложим. Заметим, что x = 1 и x = 5 — его корни (при x=1: 1-12+49-78+40=0; при x=5: 625-1500+1225-390+40=0). Поэтому x^4 - 12x^3 + 49x^2 - 78x + 40 = (x-1)(x-5)(x^2 - 6x + 8), что проверяется делением (а множитель x^2-6x+8=(x-2)(x-4) даёт оставшиеся корни 2 и 4). Таким образом, уравнение приводится к виду (x-1)(x-5)(x^2 - 6x + 8) + a(x-1)(x-5) = 0, (x-1)(x-5)(x^2 - 6x + 8 + a) = 0. Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель. Линейные множители дают корни x = 1 и x = 5, которые присутствуют при любом значении a и различны между собой. Значит, у уравнения всегда есть как минимум два различных корня — 1 и 5. Остаётся рассмотреть квадратный множитель q(x) = x^2 - 6x + (8 + a) = 0. Его дискриминант D = 36 - 4(8 + a) = 4 - 4a = 4(1 - a), а корни (когда они действительны) равны x = 3 +- sqrt(1-a). Уравнение имеет ровно два различных корня тогда и только тогда, когда квадратный множитель не добавляет к набору 1;5 ни одного нового значения. Разберём случаи по знаку дискриминанта. 1) a > 1. Тогда D < 0, и квадратное уравнение действительных корней не имеет. Остаются только корни 1 и 5 — ровно два различных. Подходит каждое a > 1. 2) a = 1. Тогда D = 0 и квадратное уравнение даёт двукратный корень x = 3, которого нет среди 1;5. Получаем три различных корня: 1, 3, 5. Не подходит. 3) a < 1. Тогда D > 0 и квадратное уравнение имеет два различных действительных корня x = 3 - sqrt(1-a) и x = 3 + sqrt(1-a). Чтобы общее число различных корней осталось равным двум, оба этих корня обязаны совпадать с уже имеющимися значениями 1 и 5. Так как корни квадратного множителя различны, единственная возможность — это набор 1;5, то есть x^2 - 6x + (8 + a) = (x-1)(x-5) = x^2 - 6x + 5. Сравнивая свободные члены, получаем 8 + a = 5, откуда a = -3 (сумма корней 1+5=6 при этом совпадает автоматически). Проверим: при a=-3 q(x) = x^2 - 6x + 5 = (x-1)(x-5), и уравнение принимает вид (x-1)^2(x-5)^2 = 0 — ровно два различных корня 1 и 5. Подходит. Если же при a < 1 хотя бы один корень квадратного множителя отличен от 1 и 5, различных корней становится не меньше трёх. Условия q(1)=0 и q(5)=0 оба дают a=-3 (поскольку q(1)=q(5)=8+a-5=a+3), поэтому других «согласующих» значений a при a<1 нет. Объединяя случаи 1 и 3, получаем, что уравнение имеет ровно два различных корня при a = -3 и при всех a > 1. Ответ: a in -3 U (1;+inf).

\(a \in \{-3\} \cup (1;\,+\infty)\)