Задача №18054

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$x^4+a^2{x}^2-4a{x}^2=4x^2+4a^2-16a$$

имеет ровно два различных корня.

Перенесём все слагаемые в левую часть и сгруппируем их.

$$x^4+a^2{x}^2-4a{x}^2-4x^2-4a^2+16a=0.$$

Сгруппируем члены так, чтобы выделить общий множитель. Заметим, что

$$x^4-4x^2=x^2(x^2-4),a^2{x}^2-4a{x}^2-4a^2+16a=(x^2-4)(a^2-4a).$$

В самом деле, $a^2{x}^2-4a{x}^2=x^2(a^2-4a)$ и $-4a^2+16a=-4(a^2-4a)\text{,}$ а значит сумма этих четырёх слагаемых равна $(x^2-4)(a^2-4a)\text{.}$ Поэтому всё уравнение принимает вид

$$x^2(x^2-4)+(x^2-4)(a^2-4a)=0,$$ $$(x^2-4)(x^2+a^2-4a)=0.$$

Таким образом, уравнение распадается на совокупность

$$x^2-4=0\text{или}{x}^2=4a-a^2.$$

Первое уравнение $x^2-4=0$ при любом значении $a$ даёт ровно два корня:

$$x=2\text{и}x=-2.$$

Эти два различных числа есть в множестве корней всегда. Значит, исходное уравнение всегда имеет как минимум два корня, а ровно два различных корня оно будет иметь тогда и только тогда, когда второе уравнение

$$x^2=4a-a^2$$

не добавляет ни одного нового корня к уже имеющимся $2$ и $-2\text{.}$

Обозначим $S=4a-a^2$ и разберём все случаи в зависимости от знака $S\text{.}$

1) Если $S<0\text{,}$ то уравнение $x^2=S$ не имеет действительных корней и новых корней не добавляет. Тогда множество корней есть $\{-2;2\}$ — ровно два корня. Условие $S<0\text{:}$

$$4a-a^2<0⟺a^2-4a>0⟺a(a-4)>0⟺a<0\text{или}a>4.$$

2) Если $S=0\text{,}$ то уравнение $x^2=0$ даёт единственный корень $x=0\text{,}$ который отличается от $2$ и $-2\text{.}$ Тогда корней становится три: $\{-2;0;2\}$ — это не подходит. Случай $S=0$ (то есть $a=0$ или $a=4$) исключается.

3) Если $S>0\text{,}$ то уравнение $x^2=S$ даёт два различных корня $x=\sqrt{S}$ и $x=-\sqrt{S}\text{.}$ Чтобы они не добавляли новых корней, оба должны совпадать с уже имеющимися $2$ и $-2\text{,}$ то есть необходимо $\sqrt{S}=2\text{,}$ откуда $S=4\text{.}$ При любом другом положительном $S$ появляются новые корни и общее число различных корней становится равным четырём (если $S\ne 4\text{,}$ то $\sqrt{S}\ne 2$). Условие $S=4\text{:}$

$$4a-a^2=4⟺a^2-4a+4=0⟺(a-2{)}^2=0⟺a=2.$$

При $a=2$ второе уравнение даёт $x^2=4\text{,}$ то есть снова $x=\pm 2\text{,}$ новых корней нет — остаётся ровно два корня $\{-2;2\}\text{.}$

Объединяя подходящие случаи (пункты 1 и 3), получаем, что уравнение имеет ровно два различных корня при

$$a<0,a=2,a>4,$$

то есть

$$a\in (-\infty ;0)\cup \{2\}\cup (4;+\infty ).$$

Ответ: $a\in (-\infty ;0)\cup \{2\}\cup (4;+\infty )\text{.}$