Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x^4 + a^2 x^2 - 4ax^2 = 4x^2 + 4a^2 - 16a имеет ровно два различных корня.

Перенесём все слагаемые в левую часть и сгруппируем их. x^4 + a^2x^2 - 4ax^2 - 4x^2 - 4a^2 + 16a = 0. Сгруппируем члены так, чтобы выделить общий множитель. Заметим, что x^4 - 4x^2 = x^2(x^2-4), a^2x^2 - 4ax^2 - 4a^2 + 16a = (x^2-4)(a^2-4a). В самом деле, a^2x^2 - 4ax^2 = x^2(a^2-4a) и -4a^2+16a = -4(a^2-4a), а значит сумма этих четырёх слагаемых равна (x^2-4)(a^2-4a). Поэтому всё уравнение принимает вид x^2(x^2-4) + (x^2-4)(a^2-4a) = 0, (x^2-4)(x^2 + a^2 - 4a) = 0. Таким образом, уравнение распадается на совокупность x^2 - 4 = 0 или x^2 = 4a - a^2. Первое уравнение x^2-4=0 при любом значении a даёт ровно два корня: x = 2 и x = -2. Эти два различных числа есть в множестве корней всегда. Значит, исходное уравнение всегда имеет как минимум два корня, а ровно два различных корня оно будет иметь тогда и только тогда, когда второе уравнение x^2 = 4a - a^2 не добавляет ни одного нового корня к уже имеющимся 2 и -2. Обозначим S = 4a - a^2 и разберём все случаи в зависимости от знака S. 1) Если S<0, то уравнение x^2 = S не имеет действительных корней и новых корней не добавляет. Тогда множество корней есть -2;2 — ровно два корня. Условие S<0: 4a - a^2 < 0 ^2 - 4a > 0 (a-4) > 0 <0 или a>4. 2) Если S=0, то уравнение x^2 = 0 даёт единственный корень x=0, который отличается от 2 и -2. Тогда корней становится три: -2;0;2 — это не подходит. Случай S=0 (то есть a=0 или a=4) исключается. 3) Если S>0, то уравнение x^2 = S даёт два различных корня x = sqrt(S) и x = -sqrt(S). Чтобы они не добавляли новых корней, оба должны совпадать с уже имеющимися 2 и -2, то есть необходимо sqrt(S) = 2, откуда S = 4. При любом другом положительном S появляются новые корни и общее число различных корней становится равным четырём (если S4, то S2). Условие S=4: 4a - a^2 = 4 ^2 - 4a + 4 = 0 (a-2)^2 = 0 = 2. При a=2 второе уравнение даёт x^2=4, то есть снова x=+-2, новых корней нет — остаётся ровно два корня -2;2. Объединяя подходящие случаи (пункты 1 и 3), получаем, что уравнение имеет ровно два различных корня при a < 0, a = 2, a > 4, то есть a in (-inf;0) U 2 U (4;+inf). Ответ: a in (-inf;0) U 2 U (4;+inf).

\(a \in (-\infty;\,0) \cup \{2\} \cup (4;\,+\infty)\)