Окружность с центром O касается боковых сторон AB и BC равнобедренного остроугольного треугольника ABC и его высоты CH. а) Докажите, что ∠AOC=90∘. б) Найдите площадь треугольника ABC, если BO=1 и AC=6.
Поскольку треугольник ABC равнобедренный с боковыми сторонами AB=BC, его биссектриса, проведённая из вершины B, является и осью симметрии: она проходит через середину M основания AC и перпендикулярна AC. Окружность касается боковых сторон AB и BC, значит её центр O равноудалён от прямых AB и BC, то есть лежит на биссектрисе угла B — на этой самой оси симметрии. Таким образом, точки B, O, M лежат на одной прямой.
а) Окружность касается двух прямых, проходящих через вершину C: боковой стороны CB и высоты CH. Поэтому центр O равноудалён от прямых CB и CH, а значит, луч CO — биссектриса угла BCH:
∠BCO=∠OCH=21∠BCH.Обозначим равные углы при основании ∠BAC=∠BCA=γ; тогда угол при вершине ∠ABC=180∘−2γ. В прямоугольном треугольнике BHC (где ∠BHC=90∘, так как CH — высота, опущенная на AB) имеем
∠BCH=90∘−∠ABC=90∘−(180∘−2γ)=2γ−90∘.Отсюда
∠BCO=22γ−90∘=γ−45∘,и поэтому
∠ACO=∠BCA−∠BCO=γ−(γ−45∘)=45∘.Теперь воспользуемся симметрией. Центр O лежит на оси симметрии треугольника, поэтому при симметрии относительно прямой BM точка O и радиус окружности не меняются — окружность переходит сама в себя. Эта симметрия меняет местами стороны AB и CB, а высоту CH (опущенную из C на AB) переводит в высоту, опущенную из A на сторону BC. Так как окружность отображается сама на себя, она касается и этой высоты из вершины A. Значит, окружность касается двух прямых, проходящих через вершину A: стороны AB и высоты из A, и совершенно так же O равноудалён от них, то есть AO — биссектриса соответствующего угла. Повторяя дословно проведённое выше вычисление для вершины A, получаем
∠OAC=45∘.Тогда в треугольнике AOC
∠AOC=180∘−∠ACO−∠OAC=180∘−45∘−45∘=90∘,что и требовалось доказать.
б) Пусть M — середина основания AC. Так как BM — ось симметрии, точки B, O, M лежат на одной прямой, причём BM⊥AC, а BM — высота треугольника ABC, опущенная на AC.
По пункту а) треугольник AOC прямоугольный с прямым углом при вершине O. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Так как M — середина гипотенузы AC, то OM — эта медиана, и
OM=2AC=26=3.Точка O лежит на отрезке BM между B и M, поэтому высота треугольника равна
BM=BO+OM=1+3=4.Следовательно, площадь треугольника ABC равна
S=21⋅AC⋅BM=21⋅6⋅4=12.(Замечание о корректности: полученной конфигурации отвечает остроугольный треугольник. Действительно, в координатах B=(0,0), A=(4,3), C=(4,−3) имеем O=(1,0), радиус касательной окружности r=0,6, AC=6, BO=1, а углы треугольника равны примерно 73,7∘ и 53,1∘ — все острые, и OA⋅OC=0, то есть ∠AOC=90∘.)
Ответ: 12.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
sdamex