Окружность с центром O касается боковых сторон AB и BC равнобедренного остроугольного треугольника ABC и его высоты CH. а) Докажите, что AOC=90^. б) Найдите площадь треугольника ABC, если BO=1 и AC=6.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный с боковыми сторонами AB=BC, его биссектриса, проведённая из вершины B, является и осью симметрии: она проходит через середину M основания AC и перпендикулярна AC. Окружность касается боковых сторон AB и BC, значит её центр O равноудалён от прямых AB и BC, то есть лежит на биссектрисе угла B — на этой самой оси симметрии. Таким образом, точки B, O, M лежат на одной прямой. **а)** Окружность касается двух прямых, проходящих через вершину C: боковой стороны CB и высоты CH. Поэтому центр O равноудалён от прямых CB и CH, а значит, луч CO — биссектриса угла BCH: BCO= OCH=(1)/(2) BCH. Обозначим равные углы при основании BAC= BCA=gamma; тогда угол при вершине ABC=180^-2gamma. В прямоугольном треугольнике BHC (где BHC=90^, так как CH — высота, опущенная на AB) имеем BCH=90^- ABC=90^-(180^-2gamma)=2gamma-90^. Отсюда BCO=(2gamma-90^)/(2)=gamma-45^, и поэтому ACO= BCA- BCO=gamma-(gamma-45^)=45^. Теперь воспользуемся симметрией. Центр O лежит на оси симметрии треугольника, поэтому при симметрии относительно прямой BM точка O и радиус окружности не меняются — окружность переходит сама в себя. Эта симметрия меняет местами стороны AB и CB, а высоту CH (опущенную из C на AB) переводит в высоту, опущенную из A на сторону BC. Так как окружность отображается сама на себя, она касается и этой высоты из вершины A. Значит, окружность касается двух прямых, проходящих через вершину A: стороны AB и высоты из A, и совершенно так же O равноудалён от них, то есть AO — биссектриса соответствующего угла. Повторяя дословно проведённое выше вычисление для вершины A, получаем OAC=45^. Тогда в треугольнике AOC AOC=180^- ACO- OAC=180^-45^-45^=90^, что и требовалось доказать. **б)** Пусть M — середина основания AC. Так как BM — ось симметрии, точки B, O, M лежат на одной прямой, причём BM AC, а BM — высота треугольника ABC, опущенная на AC. По пункту а) треугольник AOC прямоугольный с прямым углом при вершине O. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Так как M — середина гипотенузы AC, то OM — эта медиана, и OM=(AC)/(2)=(6)/(2)=3. Точка O лежит на отрезке BM между B и M, поэтому высота треугольника равна BM=BO+OM=1+3=4. Следовательно, площадь треугольника ABC равна S=(1)/(2)* AC* BM=(1)/(2)* 6* 4=12. (Замечание о корректности: полученной конфигурации отвечает остроугольный треугольник. Действительно, в координатах B=(0,0), A=(4,3), C=(4,-3) имеем O=(1,0), радиус касательной окружности r=0,6, AC=6, BO=1, а углы треугольника равны примерно 73,7^ и 53,1^ — все острые, и OA*OC=0, то есть AOC=90^.) Ответ: 12.

б) 12