Задача №18052

Вершины $A\text{,}$ $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ лежат на окружности, вершина $D$ не лежит на этой окружности. Её хорды $BK$ и $BM$ перпендикулярны прямым $AD$ и $CD$ соответственно. а) Докажите, что четырёхугольник $ACKM$ — прямоугольник. б) Найдите площадь четырёхугольника $ACKM\text{,}$ если радиус окружности равен $2\text{,}$ а $\angle BAD=75^{\circ }\text{.}$

а)

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны: $AD\parallel BC$ и $CD\parallel AB\text{.}$

Хорда $BK$ перпендикулярна прямой $AD\text{.}$ Так как $AD\parallel BC\text{,}$ то $BK\perp BC\text{,}$ то есть $\angle KBC=90^{\circ }\text{.}$ Вписанный угол $\angle KBC$ опирается на хорду $KC\text{;}$ если вписанный угол прямой, то хорда, на которую он опирается, является диаметром. Значит, $KC$ — диаметр окружности.

Аналогично хорда $BM$ перпендикулярна прямой $CD\text{.}$ Так как $CD\parallel AB\text{,}$ то $BM\perp AB\text{,}$ то есть $\angle MBA=90^{\circ }\text{.}$ Вписанный угол $\angle MBA$ опирается на хорду $MA\text{,}$ поэтому $MA$ — тоже диаметр окружности.

Пусть $O$ — центр окружности. Оба отрезка $KC$ и $MA$ — диаметры, поэтому они проходят через точку $O$ и делятся ею пополам:

Рассмотрим четырёхугольник $ACKM$ (вершины в порядке $A,K,M,C$). Его диагонали — это отрезки $AM$ и $CK\text{.}$ Они равны (оба равны диаметру $2R$) и точкой $O$ делятся пополам. Четырёхугольник, у которого диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, является прямоугольником.

Следовательно, $ACKM$ — прямоугольник, что и требовалось доказать.

б)

Сторонами прямоугольника $ACKM$ служат отрезки $AC$ и $AK$ (а его диагоналями — диаметры $AM$ и $CK$). Найдём длины сторон через теорему о вписанном угле (хорда равна $2R\sin \alpha \text{,}$ где $\alpha$ — вписанный угол, опирающийся на эту хорду).

Сторона $AC\text{.}$ В параллелограмме сумма соседних углов равна $180^{\circ }\text{,}$ поэтому

Угол $\angle ABC$ — вписанный, опирается на хорду $AC\text{,}$ значит

Сторона $AK\text{.}$ Опустим из вершины $B$ перпендикуляр $BK$ на прямую $AD\text{;}$ пусть $P$ — основание этого перпендикуляра. В прямоугольном треугольнике $ABP$ угол при вершине $A$ равен $\angle BAD=75^{\circ }\text{,}$ поэтому

Угол $\angle ABK$ — вписанный, опирается на хорду $AK\text{,}$ значит

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

Преобразуем произведение синусов в разность косинусов:

Так как $\cos 90^{\circ }=0$ и $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}\text{,}$ получаем

Ответ: 4.