Вершины A, B и C параллелограмма ABCD лежат на окружности, вершина D не лежит на этой окружности. Её хорды BK и BM перпендикулярны прямым AD и CD соответственно. а) Докажите, что четырёхугольник ACKM — прямоугольник. б) Найдите площадь четырёхугольника ACKM, если радиус окружности равен 2, а BAD=75^.

**а)** В параллелограмме ABCD противоположные стороны параллельны: AD BC и CD AB. Хорда BK перпендикулярна прямой AD. Так как AD BC, то BK BC, то есть KBC=90^. Вписанный угол KBC опирается на хорду KC; если вписанный угол прямой, то хорда, на которую он опирается, является диаметром. Значит, KC — диаметр окружности. Аналогично хорда BM перпендикулярна прямой CD. Так как CD AB, то BM AB, то есть MBA=90^. Вписанный угол MBA опирается на хорду MA, поэтому MA — тоже диаметр окружности. Пусть O — центр окружности. Оба отрезка KC и MA — диаметры, поэтому они проходят через точку O и делятся ею пополам: OA=OK=OC=OM=R. Рассмотрим четырёхугольник ACKM (вершины в порядке A,K,M,C). Его диагонали — это отрезки AM и CK. Они равны (оба равны диаметру 2R) и точкой O делятся пополам. Четырёхугольник, у которого диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, является прямоугольником. Следовательно, ACKM — прямоугольник, что и требовалось доказать. **б)** Сторонами прямоугольника ACKM служат отрезки AC и AK (а его диагоналями — диаметры AM и CK). Найдём длины сторон через теорему о вписанном угле (хорда равна 2R, где alpha — вписанный угол, опирающийся на эту хорду). Сторона AC. В параллелограмме сумма соседних углов равна 180^, поэтому ABC=180^- BAD=180^-75^=105^. Угол ABC — вписанный, опирается на хорду AC, значит AC=2Rsin ABC=2*2*105^=4105^. Сторона AK. Опустим из вершины B перпендикуляр BK на прямую AD; пусть P — основание этого перпендикуляра. В прямоугольном треугольнике ABP угол при вершине A равен BAD=75^, поэтому ABK= ABP=90^-75^=15^. Угол ABK — вписанный, опирается на хорду AK, значит AK=2Rsin ABK=2*2*15^=415^. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: S_(ACKM)=AC* AK=4105^*415^=16105^15^. Преобразуем произведение синусов в разность косинусов: 16105^15^=16*(cos(105^-15^)-cos(105^+15^))/(2)=8(90^-120^). Так как 90^=0 и 120^=-12, получаем S_(ACKM)=8(0-(-12))=8*12=4. Ответ: 4.

б) 4