В равнобедренном остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH и CT к боковым сторонам BC и AB. Отрезки HM и HK — перпендикуляры к прямым AB и AC соответственно. Отрезки CT и MK пересекаются в точке E. а) Докажите, что TH=ME. б) Найдите длину отрезка EK, если AB=5 и AC=6.
По условию треугольник ABC равнобедренный с боковыми сторонами AB=BC и основанием AC; углы при основании равны: ∠A=∠C. Высота AH опущена на боковую сторону BC, высота CT — на боковую сторону AB. Перпендикуляры HM и HK опущены из точки H на прямые AB и AC. Отметим сразу, что точки T и M лежат на одной прямой AB.
а) Рассмотрим четырёхугольник AMHK. Так как HM⊥AB и HK⊥AC, то ∠AMH=∠AKH=90∘. Значит, точки A,M,H,K лежат на окружности с диаметром AH (оба прямых угла опираются на отрезок AH).
В этой окружности вписанные углы ∠AMK и ∠AHK опираются на одну и ту же дугу AK, поэтому ∠AMK=∠AHK. В прямоугольном треугольнике AKH (прямой угол при K) имеем ∠AHK=90∘−∠HAK=90∘−∠HAC. Поскольку AH⊥BC, в прямоугольном треугольнике AHC выполнено ∠HAC=90∘−∠C, откуда
∠AMK=∠AHK=90∘−∠HAC=∠C=∠A.Таким образом, прямая MK образует с прямой AB (в точке M) угол, равный ∠A.
Точка E лежит на прямой CT, а CT⊥AB; точка T лежит на AB. Значит, ET⊥AB, и треугольник MTE прямоугольный с прямым углом при вершине T. В нём ∠TME=∠AMK=∠A, поэтому
ME=cos∠TMEMT=cosAMT.Теперь вычислим MT. В прямоугольном треугольнике ATC (прямой угол при T) AT=ACcosA. Точка M — проекция H на AB, поэтому AM=AHcos∠HAB. При этом ∠HAB=∠A−∠HAC=∠A−(90∘−∠C)=2∠A−90∘, и AH=ACsin∠C=ACsinA (из прямоугольного треугольника AHC). Следовательно,
AM=ACsinA⋅cos(2A−90∘)=ACsinA⋅sin2A=ACsinA⋅2sinAcosA=2ACsin2AcosA.Тогда (учитывая, что T лежит между A и M)
MT=AM−AT=ACcosA(2sin2A−1)=−ACcosAcos2A,и поэтому
ME=cosAMT=−ACcos2A=ACsin(2A−90∘).С другой стороны, найдём TH. Так как ∠ATC=90∘ (ведь CT⊥AB) и ∠AHC=90∘ (ведь AH⊥BC), точки A,T,H,C лежат на окружности с диаметром AC. Хорда TH видна из точки A под вписанным углом ∠TAH=∠HAB=2A−90∘, а диаметр этой окружности равен AC. По теореме о хорде и вписанном угле
TH=ACsin∠TAH=ACsin(2A−90∘).Сравнивая полученные выражения, видим
TH=ACsin(2A−90∘)=ME.Утверждение доказано.
б) Найдём EK. По условию AB=BC=5 и AC=6. Опустив из B высоту на основание AC, получаем
cosA=ABAC/2=53,sinA=54.Вычислим нужные длины:
AH=ACsinA=6⋅54=524,AT=ACcosA=6⋅53=518.Из пункта а)
AM=2ACsin2AcosA=2⋅6⋅2516⋅53=125576,MT=AM−AT=125576−518=125126.Тогда
ME=cosAMT=3/5126/125=2542(и TH=ME=2542).Отрезок MK — хорда окружности с диаметром AH, стягивающая вписанный угол ∠MAK=∠A, поэтому
MK=AHsinA=524⋅54=2596.Точка E лежит между M и K (она внутри треугольника), значит ME+EK=MK, откуда
EK=MK−ME=2596−2542=2554.Ответ: а) доказано; б) EK=2554.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
sdamex