В равнобедренном остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH и CT к боковым сторонам BC и AB. Отрезки HM и HK — перпендикуляры к прямым AB и AC соответственно. Отрезки CT и MK пересекаются в точке E. а) Докажите, что TH=ME. б) Найдите длину отрезка EK, если AB=5 и AC=6.

По условию треугольник ABC равнобедренный с боковыми сторонами AB=BC и основанием AC; углы при основании равны: A= C. Высота AH опущена на боковую сторону BC, высота CT — на боковую сторону AB. Перпендикуляры HM и HK опущены из точки H на прямые AB и AC. Отметим сразу, что точки T и M лежат на одной прямой AB. **а)** Рассмотрим четырёхугольник AMHK. Так как HM AB и HK AC, то AMH= AKH=90^. Значит, точки A,M,H,K лежат на окружности с диаметром AH (оба прямых угла опираются на отрезок AH). В этой окружности вписанные углы AMK и AHK опираются на одну и ту же дугу AK, поэтому AMK= AHK. В прямоугольном треугольнике AKH (прямой угол при K) имеем AHK=90^- HAK=90^- HAC. Поскольку AH BC, в прямоугольном треугольнике AHC выполнено HAC=90^- C, откуда AMK= AHK=90^- HAC= C= A. Таким образом, прямая MK образует с прямой AB (в точке M) угол, равный A. Точка E лежит на прямой CT, а CT AB; точка T лежит на AB. Значит, ET AB, и треугольник MTE прямоугольный с прямым углом при вершине T. В нём TME= AMK= A, поэтому ME=(MT)/(cos TME)=(MT)/(cos A). Теперь вычислим MT. В прямоугольном треугольнике ATC (прямой угол при T) AT=ACcos A. Точка M — проекция H на AB, поэтому AM=AHcos HAB. При этом HAB= A- HAC= A-(90^- C)=2 A-90^, и AH=ACsin C=ACsin A (из прямоугольного треугольника AHC). Следовательно, AM=ACsin A*cos(2A-90^)=ACsin A*sin 2A=ACsin A* 2sin Acos A=2ACsin^2Acos A. Тогда (учитывая, что T лежит между A и M) MT=AM-AT=ACcos A(2sin^2A-1)=-ACcos Acos 2A, и поэтому ME=(MT)/(cos A)=-ACcos 2A=ACsin(2A-90^). С другой стороны, найдём TH. Так как ATC=90^ (ведь CT AB) и AHC=90^ (ведь AH BC), точки A,T,H,C лежат на окружности с диаметром AC. Хорда TH видна из точки A под вписанным углом TAH= HAB=2A-90^, а диаметр этой окружности равен AC. По теореме о хорде и вписанном угле TH=ACsin TAH=ACsin(2A-90^). Сравнивая полученные выражения, видим TH=ACsin(2A-90^)=ME. Утверждение доказано. **б)** Найдём EK. По условию AB=BC=5 и AC=6. Опустив из B высоту на основание AC, получаем cos A=(AC/2)/(AB)=(3)/(5), sin A=(4)/(5). Вычислим нужные длины: AH=ACsin A=6*(4)/(5)=(24)/(5), AT=ACcos A=6*(3)/(5)=(18)/(5). Из пункта а) AM=2ACsin^2Acos A=2* 6*(16)/(25)*(3)/(5)=(576)/(125), MT=AM-AT=(576)/(125)-(18)/(5)=(126)/(125). Тогда ME=(MT)/(cos A)=(126/125)/(3/5)=(42)/(25) (и TH=ME=(42)/(25)). Отрезок MK — хорда окружности с диаметром AH, стягивающая вписанный угол MAK= A, поэтому MK=AHsin A=(24)/(5)*(4)/(5)=(96)/(25). Точка E лежит между M и K (она внутри треугольника), значит ME+EK=MK, откуда EK=MK-ME=(96)/(25)-(42)/(25)=(54)/(25). Ответ: а) доказано; б) EK=(54)/(25).

б) \(\dfrac{54}{25}\)