Задача №18050

В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на три года в размере 2 000 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на $25\%$ по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на $10\%$ меньше долга в июле предыдущего года; — к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью. Сколько тыс. рублей составит сумма всех платежей после полного погашения кредита?

Обозначим долг перед банком в июле соответствующего года (в тыс. рублей).

В июле 2028 года взят кредит, поэтому исходный долг равен

По условию долг в июле 2029 и 2030 годов на $10\%$ меньше долга в июле предыдущего года, то есть составляет $90\%$ от него:

К июлю 2031 года долг должен быть погашен полностью:

Опишем один годовой цикл. Пусть на июль некоторого года долг равен $D\text{.}$ В январе следующего года долг увеличивается на $25\%\text{,}$ то есть становится равным

С февраля по июнь вносится один платёж, после которого долг должен стать равным заданному значению $D^{\prime }$ на июль этого года. Значит, платёж равен разности долга после начисления процентов и нужного остатка:

Вычислим платежи по каждому году.

Платёж 2029 года (от $D_{2028}=2000$ к $D_{2029}=1800$):

Платёж 2030 года (от $D_{2029}=1800$ к $D_{2030}=1620$):

Платёж 2031 года (от $D_{2030}=1620$ к $D_{2031}=0$):

Сумма всех платежей за весь срок кредита равна

Ответ: $3355$ тыс. рублей.