В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на четыре года в размере 16 000 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 4% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на 25% меньше долга в июле предыдущего года; — к июлю 2032 года долг должен быть выплачен полностью. Сколько тыс. рублей составит сумма всех платежей после полного погашения кредита?

Обозначим долг по состоянию на июль каждого года (в тыс. рублей). По условию в июле 2028 года долг равен 16000. В июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на 25% меньше долга в июле предыдущего года, то есть составлять 75% от него, а к июлю 2032 года долг должен быть погашен полностью (равен нулю). Поэтому целевые значения долга на июль каждого года таковы: D_(2028)=16000, D_(2029)=0,75* 16000=12000, D_(2030)=0,75* 12000=9000, D_(2031)=0,75* 9000=6750, D_(2032)=0. Рассмотрим один календарный год выплаты. В январе долг увеличивается на 4% по сравнению с концом предыдущего года, то есть умножается на 1,04. Концом предыдущего года является долг на июль предыдущего года. После начисления процентов с февраля по июнь делается один платёж, уменьшающий долг до нужного июльского значения текущего года. Значит, платёж за год равен разности между долгом после январского начисления и целевым долгом на июль этого года. Вычислим платёж за каждый год. Год 2029. После начисления процентов долг равен 1,04* 16000=16640. Чтобы он стал равен D_(2029)=12000, нужно выплатить x_(2029)=16640-12000=4640. Год 2030. После начисления процентов долг равен 1,04* 12000=12480. Чтобы он стал равен D_(2030)=9000, нужно выплатить x_(2030)=12480-9000=3480. Год 2031. После начисления процентов долг равен 1,04* 9000=9360. Чтобы он стал равен D_(2031)=6750, нужно выплатить x_(2031)=9360-6750=2610. Год 2032. После начисления процентов долг равен 1,04* 6750=7020. Чтобы он стал равен D_(2032)=0 (полное погашение), нужно выплатить x_(2032)=7020-0=7020. Сумма всех платежей равна x_(2029)+x_(2030)+x_(2031)+x_(2032)=4640+3480+2610+7020=17750. Замечание (контроль). Сумму платежей удобно представить так: за все годы заёмщик в итоге возвращает банку само тело кредита 16000 и сверх того все начисленные за годы проценты. Проценты составляют 4% от долга на начало каждого года, то есть 0,04*(16000+12000+9000+6750)=0,04* 43750=1750. Тогда общая сумма выплат равна 16000+1750=17750, что совпадает с прямым подсчётом. Ответ: 17750 тыс. рублей.

\(17\,750\) тыс. рублей