Задача №18048

Решите неравенство $\frac{{\log }_2^{2}x-{\log }_{2}x}{{\log }_{0,2}\left(0,5\cdot 2^x\right)}⩾0\text{.}$

Решим неравенство

\textbf{Область допустимых значений.}

Под знаком логарифма ${\log }_{2}x$ должно стоять положительное число, поэтому $x>0\text{.}$ Под знаком второго логарифма стоит выражение $0,5\cdot 2^x>0$ при всех $x\text{,}$ так что дополнительных ограничений отсюда нет. Наконец, знаменатель дроби не должен обращаться в нуль. Таким образом,

\textbf{Упрощение знаменателя.}

Заметим, что

Тогда

Так как основание $0,2<1\text{,}$ а число $2>1\text{,}$ то ${\log }_{0,2}2<0\text{.}$ Обозначим $c={\log }_{0,2}2<0\text{.}$ Знаменатель равен $(x-1)\cdot c$ и обращается в нуль только при $x=1\text{.}$ Значит, точку $x=1$ надо исключить, и окончательно область допустимых значений:

При этом знак знаменателя определяется множителем $(x-1)\text{,}$ помноженным на отрицательное число $c\text{:}$

\textbf{Упрощение числителя.}

Вынесем общий множитель:

Числитель обращается в нуль при ${\log }_{2}x=0\text{,}$ то есть $x=1\text{,}$ и при ${\log }_{2}x=1\text{,}$ то есть $x=2\text{.}$ Определим знак числителя:

\textbf{Анализ знака дроби.}

Рассмотрим интервалы области допустимых значений.

1) При $0<x<1\text{:}$ числитель положителен $(>0)\text{,}$ знаменатель положителен $(>0)\text{,}$ поэтому дробь положительна. Неравенство выполнено.

2) При $1<x<2\text{:}$ числитель отрицателен $(<0)\text{,}$ знаменатель отрицателен $(<0)\text{,}$ поэтому дробь положительна. Неравенство выполнено.

3) При $x=2\text{:}$ числитель равен нулю, знаменатель отличен от нуля (${\log }_{0,2}\left(0,5\cdot 2^2\right)={\log }_{0,2}2\ne 0$), значит вся дробь равна нулю. Так как неравенство нестрогое, точка $x=2$ подходит.

4) При $x>2\text{:}$ числитель положителен $(>0)\text{,}$ знаменатель отрицателен $(<0)\text{,}$ поэтому дробь отрицательна. Неравенство не выполнено.

Точка $x=1$ исключена (знаменатель равен нулю).

Объединяя случаи, в которых неравенство выполнено, получаем

Ответ: $x\in (0;1)\cup (1;2]\text{.}$