Решите неравенство (_2^2 x - _2 x)/(_(0,)2(0,5* 2^x)) 0.

Решим неравенство (_2^2 x - _2 x)/(_(0,)2(0,5* 2^x)) 0. Область допустимых значений. Под знаком логарифма _2 x должно стоять положительное число, поэтому x>0. Под знаком второго логарифма стоит выражение 0,5* 2^x>0 при всех x, так что дополнительных ограничений отсюда нет. Наконец, знаменатель дроби не должен обращаться в нуль. Таким образом, x>0 и _(0,)2(0,5* 2^x)!= 0. Упрощение знаменателя. Заметим, что 0,5* 2^x = 2^(-1)* 2^x = 2^(x-1). Тогда _(0,)2(0,5* 2^x) = _(0,)2 2^(x-1) = (x-1)* _(0,)2 2. Так как основание 0,2<1, а число 2>1, то _(0,)2 2<0. Обозначим c=_(0,)2 2<0. Знаменатель равен (x-1)* c и обращается в нуль только при x=1. Значит, точку x=1 надо исключить, и окончательно область допустимых значений: xin(0;1)U(1;+inf). При этом знак знаменателя определяется множителем (x-1), помноженным на отрицательное число c: если 0<x<1, то (x-1)<0, значит (x-1)c>0 (знаменатель > 0); если x>1, то (x-1)>0, значит (x-1)c<0 (знаменатель < 0). Упрощение числителя. Вынесем общий множитель: _2^2 x - _2 x = _2 x*(_2 x - 1). Числитель обращается в нуль при _2 x = 0, то есть x=1, и при _2 x = 1, то есть x=2. Определим знак числителя: _2 x*(_2 x-1)<0 0<_2 x<1 1<x<2, _2 x*(_2 x-1)>0 _2 x<0 или _2 x>1 0<x<1 или x>2. Анализ знака дроби. Рассмотрим интервалы области допустимых значений. 1) При 0<x<1: числитель положителен (>0), знаменатель положителен (>0), поэтому дробь положительна. Неравенство выполнено. 2) При 1<x<2: числитель отрицателен (<0), знаменатель отрицателен (<0), поэтому дробь положительна. Неравенство выполнено. 3) При x=2: числитель равен нулю, знаменатель отличен от нуля (_(0,)2(0,5* 2^2)=_(0,)2 2!= 0), значит вся дробь равна нулю. Так как неравенство нестрогое, точка x=2 подходит. 4) При x>2: числитель положителен (>0), знаменатель отрицателен (<0), поэтому дробь отрицательна. Неравенство не выполнено. Точка x=1 исключена (знаменатель равен нулю). Объединяя случаи, в которых неравенство выполнено, получаем xin(0;1)U(1;2]. Ответ: xin(0;1)U(1;2].

\(x\in(0;\,1)\cup(1;\,2]\)