Задача №18047

Решите неравенство $\frac{{\log }_2^{2}x-3{\log }_{2}x+2}{{\log }_{0,25}\left(0,04\cdot 5^x\right)}⩾0\text{.}$

Найдём область допустимых значений (ОДЗ).

Логарифм ${\log }_{2}x$ в числителе определён при $x>0\text{.}$ Выражение под знаком логарифма в знаменателе $0,04\cdot 5^x>0$ при любом $x\text{,}$ поэтому сам логарифм определён всегда. Наконец, знаменатель не должен обращаться в нуль:

Так как $0,04=\frac{1}{25}=5^{-2}\text{,}$ то $0,04\cdot 5^x=5^{x-2}\text{,}$ и условие принимает вид $5^{x-2}\ne 1\text{,}$ то есть $x\ne 2\text{.}$

Итак, ОДЗ: $x>0,x\ne 2\text{.}$

Преобразуем числитель. Обозначим $t={\log }_{2}x\text{.}$ Тогда

Числитель обращается в нуль при ${\log }_{2}x=1$ (то есть $x=2$) и при ${\log }_{2}x=2$ (то есть $x=4$).

Преобразуем знаменатель. Учитывая $0,04\cdot 5^x=5^{x-2}$ и $0,25=\frac{1}{4}\text{,}$ получаем

Так как $\frac{\ln 5}{-2\ln 2}<0\text{,}$ знаменатель имеет знак, противоположный знаку множителя $(x-2)\text{:}$

Это видно и напрямую: основание $0,25\in (0;1)\text{,}$ поэтому логарифм положителен, когда его аргумент меньше $1$ (а $0,04\cdot 5^x<1$ при $x<2$), и отрицателен, когда аргумент больше $1$ (то есть при $x>2$).

Определим знак числителя $({\log }_{2}x-1)({\log }_{2}x-2)\text{.}$ Парабола $t^2-3t+2$ от $t={\log }_{2}x$ неотрицательна при $t\le 1$ или $t\ge 2$ и неположительна при $1\le t\le 2\text{.}$ Переходя к $x\text{:}$

Теперь исследуем знак дроби на промежутках ОДЗ.

1) При $0<x<2\text{:}$ числитель $({\log }_{2}x-1)({\log }_{2}x-2)>0$ (оба множителя отрицательны, так как ${\log }_{2}x<1$), знаменатель $>0\text{.}$ Значит, дробь положительна — неравенство выполнено на всём промежутке $(0;2)\text{.}$

2) Точка $x=2$ исключена из ОДЗ (в ней знаменатель равен нулю).

3) При $2<x<4\text{:}$ числитель отрицателен (так как $1<{\log }_{2}x<2$), знаменатель отрицателен. Дробь положительна — неравенство выполнено.

4) При $x=4\text{:}$ числитель равен нулю, знаменатель отрицателен (не равен нулю), поэтому дробь равна $0\text{,}$ и нестрогое неравенство $\ge 0$ выполнено. Точку $x=4$ включаем.

5) При $x>4\text{:}$ числитель положителен, знаменатель отрицателен — дробь отрицательна, неравенство не выполнено.

Объединяя выполнимые промежутки, получаем решение:

Ответ: $x\in (0;2)\cup (2;4]\text{.}$