Решите неравенство (_2^2 x - 3_2 x + 2)/(_(0,)25(0,04* 5^x)) 0.

Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Логарифм _2 x в числителе определён при x>0. Выражение под знаком логарифма в знаменателе 0,04* 5^x>0 при любом x, поэтому сам логарифм определён всегда. Наконец, знаменатель не должен обращаться в нуль: _(0,)25(0,04* 5^x)!= 0 0,04* 5^x!= 1. Так как 0,04=(1)/(25)=5^(-2), то 0,04* 5^x=5^(x-2), и условие принимает вид 5^(x-2)!= 1, то есть x!= 2. Итак, ОДЗ: x>0, x!= 2. Преобразуем числитель. Обозначим t=_2 x. Тогда _2^2 x-3_2 x+2=t^2-3t+2=(t-1)(t-2)=(_2 x-1)(_2 x-2). Числитель обращается в нуль при _2 x=1 (то есть x=2) и при _2 x=2 (то есть x=4). Преобразуем знаменатель. Учитывая 0,04* 5^x=5^(x-2) и 0,25=14, получаем _(0,)25(0,04* 5^x)=_(1/4)5^(x-2)=(ln 5^(x-2))/(ln14)=((x-2)ln 5)/(-2ln 2). Так как (ln 5)/(-2ln 2)<0, знаменатель имеет знак, противоположный знаку множителя (x-2): _(0,)25(0,04* 5^x)>0 при x<2, _(0,)25(0,04* 5^x)<0 при x>2. Это видно и напрямую: основание 0,25in(0;1), поэтому логарифм положителен, когда его аргумент меньше 1 (а 0,04* 5^x<1 при x<2), и отрицателен, когда аргумент больше 1 (то есть при x>2). Определим знак числителя (_2 x-1)(_2 x-2). Парабола t^2-3t+2 от t=_2 x неотрицательна при t<= 1 или t>= 2 и неположительна при 1<= t<= 2. Переходя к x: числитель>= 0 при 0<x<= 2 или x>= 4; числитель<= 0 при 2<= x<= 4. Теперь исследуем знак дроби на промежутках ОДЗ. 1) При 0<x<2: числитель (_2 x-1)(_2 x-2)>0 (оба множителя отрицательны, так как _2 x<1), знаменатель >0. Значит, дробь положительна — неравенство выполнено на всём промежутке (0;2). 2) Точка x=2 исключена из ОДЗ (в ней знаменатель равен нулю). 3) При 2<x<4: числитель отрицателен (так как 1<_2 x<2), знаменатель отрицателен. Дробь положительна — неравенство выполнено. 4) При x=4: числитель равен нулю, знаменатель отрицателен (не равен нулю), поэтому дробь равна 0, и нестрогое неравенство >= 0 выполнено. Точку x=4 включаем. 5) При x>4: числитель положителен, знаменатель отрицателен — дробь отрицательна, неравенство не выполнено. Объединяя выполнимые промежутки, получаем решение: xin(0;2)U(2;4]. Ответ: xin(0;2)U(2;4].

\(x\in(0;\,2)\cup(2;\,4]\)