В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка M — середина ребра AB. Через точку M проведена плоскость alpha, параллельная плоскости SBC и пересекающая ребро SD в точке K. а) Докажите, что точка K — середина ребра SD. б) Найдите объём пирамиды SABCD, если AB=16, а угол между прямой MK и плоскостью основания пирамиды равен 45^.

Введём обозначения. SABCD — правильная четырёхугольная пирамида, в основании квадрат ABCD со стороной AB=16, вершина S проектируется в центр O квадрата, SO — высота пирамиды. Точка M — середина ребра AB. а) Плоскость alpha параллельна плоскости SBC и проходит через точку M, лежащую в плоскости основания ABCD. Плоскость основания пересекает параллельные плоскости alpha и SBC, поэтому линии этих пересечений параллельны. Пересечение плоскости SBC с основанием — прямая BC. Значит, плоскость alpha пересекает основание по прямой, проходящей через M и параллельной BC. Так как BC AD, эта прямая параллельна и AD; прямая, проходящая через середину M стороны AB параллельно BC, пересекает противоположную сторону CD в её середине. Обозначим эту середину N. Итак, плоскость alpha пересекает основание по отрезку MN, где N — середина CD. Аналогично, плоскость грани SCD пересекает параллельные плоскости alpha и SBC по параллельным прямым. Плоскости SBC и SCD пересекаются по прямой SC. Точка N лежит и в плоскости alpha (на отрезке MN), и в плоскости SCD; точка K по условию лежит на ребре SD, то есть тоже в плоскости SCD, и принадлежит alpha. Поэтому прямая NK — линия пересечения плоскостей alpha и SCD, а значит, NK SC. Рассмотрим треугольник SCD. Точка N — середина стороны CD, а прямая NK параллельна стороне SC и пересекает сторону SD в точке K. Прямая, проходящая через середину одной стороны треугольника параллельно другой стороне, пересекает третью сторону в её середине. Следовательно, K — середина ребра SD, что и требовалось доказать. б) Введём прямоугольную систему координат. Поместим начало в вершину A и направим оси вдоль сторон основания: A=(0;0;0), B=(16;0;0), C=(16;16;0), D=(0;16;0). Центр основания O=(8;8;0). Пусть высота пирамиды SO=h, тогда S=(8;8;h). Точка M — середина AB: M=((0+16)/(2);(0+0)/(2);0)=(8;0;0). По доказанному в пункте а) точка K — середина SD: K=((8+0)/(2);(8+16)/(2);(h+0)/(2))=(4;12;(h)/(2)). Найдём вектор MK: MK=(4-8;12-0;(h)/(2)-0)=(-4;12;(h)/(2)). Угол между прямой MK и плоскостью основания — это угол между прямой MK и её проекцией MK_1 на основание, где K_1=(4;12;0) — проекция точки K на основание. Вертикальный отрезок KK_1 перпендикулярен основанию и имеет длину KK_1=(h)/(2). Длина горизонтальной проекции MK_1=sqrt((-4)^2+12^2)=sqrt(16+144)=sqrt(160)=4sqrt(10). Так как треугольник MK_1K прямоугольный с прямым углом при вершине K_1, то tg K M K_1=(KK_1)/(MK_1)=((h)/(2))/(4sqrt(10))=(h)/(8sqrt(10)). По условию угол между прямой MK и плоскостью основания равен 45^, поэтому (h)/(8sqrt(10))=tg45^=1, h=8sqrt(10). Площадь основания S_(осн)=AB^2=16^2=256. Объём пирамиды V=(1)/(3)S_(осн)* SO=(1)/(3)*256* 8sqrt(10)=(2048sqrt(10))/(3). Ответ: (2048sqrt(10))/(3).

б) \(\dfrac{2048\sqrt{10}}{3}\)