Задача №18046

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $M$ — середина ребра $AB\text{.}$ Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha \text{,}$ параллельная плоскости $SBC$ и пересекающая ребро $SD$ в точке $K\text{.}$ а) Докажите, что точка $K$ — середина ребра $SD\text{.}$ б) Найдите объём пирамиды $SABCD\text{,}$ если $AB=16\text{,}$ а угол между прямой $MK$ и плоскостью основания пирамиды равен $45^{\circ }\text{.}$

Введём обозначения. $SABCD$ — правильная четырёхугольная пирамида, в основании квадрат $ABCD$ со стороной $AB=16\text{,}$ вершина $S$ проектируется в центр $O$ квадрата, $SO$ — высота пирамиды. Точка $M$ — середина ребра $AB\text{.}$

\textbf{а)} Плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $SBC$ и проходит через точку $M\text{,}$ лежащую в плоскости основания $ABCD\text{.}$

Плоскость основания пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $SBC\text{,}$ поэтому линии этих пересечений параллельны. Пересечение плоскости $SBC$ с основанием — прямая $BC\text{.}$ Значит, плоскость $\alpha$ пересекает основание по прямой, проходящей через $M$ и параллельной $BC\text{.}$ Так как $BC\parallel AD\text{,}$ эта прямая параллельна и $AD\text{;}$ прямая, проходящая через середину $M$ стороны $AB$ параллельно $BC\text{,}$ пересекает противоположную сторону $CD$ в её середине. Обозначим эту середину $N\text{.}$ Итак, плоскость $\alpha$ пересекает основание по отрезку $MN\text{,}$ где $N$ — середина $CD\text{.}$

Аналогично, плоскость грани $SCD$ пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $SBC$ по параллельным прямым. Плоскости $SBC$ и $SCD$ пересекаются по прямой $SC\text{.}$ Точка $N$ лежит и в плоскости $\alpha$ (на отрезке $MN$), и в плоскости $SCD\text{;}$ точка $K$ по условию лежит на ребре $SD\text{,}$ то есть тоже в плоскости $SCD\text{,}$ и принадлежит $\alpha \text{.}$ Поэтому прямая $NK$ — линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $SCD\text{,}$ а значит, $NK\parallel SC\text{.}$

Рассмотрим треугольник $SCD\text{.}$ Точка $N$ — середина стороны $CD\text{,}$ а прямая $NK$ параллельна стороне $SC$ и пересекает сторону $SD$ в точке $K\text{.}$ Прямая, проходящая через середину одной стороны треугольника параллельно другой стороне, пересекает третью сторону в её середине. Следовательно, $K$ — середина ребра $SD\text{,}$ что и требовалось доказать.

\textbf{б)} Введём прямоугольную систему координат. Поместим начало в вершину $A$ и направим оси вдоль сторон основания:

Центр основания $O=(8;8;0)\text{.}$ Пусть высота пирамиды $SO=h\text{,}$ тогда $S=(8;8;h)\text{.}$

Точка $M$ — середина $AB\text{:}$

По доказанному в пункте а) точка $K$ — середина $SD\text{:}$

Найдём вектор $\overrightarrow{MK}\text{:}$

Угол между прямой $MK$ и плоскостью основания — это угол между прямой $MK$ и её проекцией $M{K}_1$ на основание, где $K_1=(4;12;0)$ — проекция точки $K$ на основание. Вертикальный отрезок $K{K}_1$ перпендикулярен основанию и имеет длину

Длина горизонтальной проекции

Так как треугольник $M{K}_{1}K$ прямоугольный с прямым углом при вершине $K_1\text{,}$ то

По условию угол между прямой $MK$ и плоскостью основания равен $45^{\circ }\text{,}$ поэтому

Площадь основания

Объём пирамиды

Ответ: $\frac{2048\sqrt{10}}{3}\text{.}$