В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точки M и K — середины рёбер AB и SD соответственно. а) Докажите, что прямая MK параллельна плоскости SBC. б) Найдите высоту пирамиды, если AB=12, а угол между прямой MK и плоскостью основания пирамиды равен 60^.

Введём обозначения: пусть O — центр основания ABCD (точка пересечения диагоналей квадрата), тогда SO — высота правильной пирамиды, причём SO(ABCD). а) Возьмём середину N ребра SC и рассмотрим вспомогательные средние линии. В треугольнике SCD точки K и N — середины сторон SD и SC, поэтому KN — средняя линия этого треугольника, откуда KN DC, KN=(1)/(2)DC. Так как ABCD — квадрат, то M — середина AB, и отрезок MB параллелен DC и равен ему половине: MB DC (как AB DC) и MB=(1)/(2)AB=(1)/(2)DC. Из KN DC и MB DC следует KN MB; при этом KN=MB=(1)/(2)DC. Значит, четырёхугольник MBNK — параллелограмм (две стороны равны и параллельны). Следовательно, MK BN. Прямая BN лежит в плоскости SBC (точки B и N принадлежат этой плоскости, так как Nin SC). Сама прямая MK плоскости SBC не принадлежит: точка M — середина AB — лежит вне плоскости SBC (иначе всё ребро AB лежало бы в этой плоскости, что для пирамиды невозможно). Прямая, не лежащая в плоскости и параллельная некоторой прямой этой плоскости, параллельна и самой плоскости. Поэтому MK(SBC), что и требовалось доказать. б) Найдём угол между прямой MK и плоскостью основания. Опустим из точки K перпендикуляр на плоскость основания. Так как K — середина SD, а SO(ABCD), то проекция точки K на основание есть середина отрезка OD; обозначим её K'. При этом KK'=(1)/(2)SO=(1)/(2)h, где h=SO — искомая высота пирамиды, а KK'(ABCD). Тогда MK' — проекция наклонной MK на плоскость основания, и углом между прямой MK и плоскостью основания является KMK'=60^. В прямоугольном треугольнике MK'K (прямой угол при вершине K'): tg KMK'=(KK')/(MK'), то есть tg60^=(KK')/(MK'). Осталось найти MK' — это отрезок в плоскости основания. Введём в плоскости основания прямоугольные координаты с началом в центре O, направив оси по средним линиям квадрата. При AB=12 имеем A(-6;-6), B(6;-6), C(6;6), D(-6;6), O(0;0). Тогда M — середина AB: M(0;-6); а K' — середина OD: K'(-3;3). Поэтому MK'=sqrt((-3-0)^2+(3-(-6))^2)=sqrt(9+81)=sqrt(90)=3sqrt(10). Подставляя в соотношение для тангенса и учитывая tg60^=3: (KK')/(MK')=3 KK'=MK'*3=3sqrt(10)*3=3sqrt(30). Наконец, h=SO=2* KK'=2* 3sqrt(30)=6sqrt(30). Проверка: 6sqrt(30)~ 32,86. Ответ: б) 6sqrt(30).

б) \(6\sqrt{30}\)