В правильном тетраэдре ABCD все рёбра равны 10. На рёбрах AB и AD отмечены точки M и K соответственно так, что AM=AK=4. а) Докажите, что плоскость CMK делит тетраэдр ABCD на два многогранника, объёмы которых относятся как 21:4. б) Найдите косинус угла между плоскостями CMK и CBD.

**а)** Так как все рёбра тетраэдра равны 10, каждая его грань — равносторонний треугольник со стороной 10, а двугранные углы при каждом ребре равны. Точки M и K лежат на рёбрах AB и AD, причём AM=AK=4. Плоскость CMK проходит через вершину C и точки M, K, поэтому она пересекает тетраэдр по треугольнику CMK и отсекает от него тетраэдр AMKC с общей вершиной A. Таким образом, плоскость CMK делит ABCD на два многогранника: тетраэдр AMKC и оставшийся многогранник MKDBC. Сравним объёмы тетраэдров AMKC и ABDC — у них общий трёхгранный угол при вершине A (рёбра идут вдоль лучей AB, AD, AC). Для двух тетраэдров с общим трёхгранным углом отношение объёмов равно произведению отношений соответствующих рёбер: (V_(AMKC))/(V_(ABDC))=(AM)/(AB)*(AK)/(AD)*(AC)/(AC)=(4)/(10)*(4)/(10)* 1=(4)/(25). Значит, объём отсечённого тетраэдра AMKC составляет (4)/(25) объёма всего тетраэдра, а объём второго многогранника составляет 1-(4)/(25)=(21)/(25) объёма тетраэдра. Следовательно, объёмы двух частей относятся как (21)/(25):(4)/(25)=21:4, что и требовалось доказать. **б)** Найдём косинус угла между плоскостями CMK и CBD. Рассмотрим отрезок MK. В треугольнике ABD имеем (AM)/(AB)=(AK)/(AD)=(4)/(10)=(2)/(5), поэтому MK BD (по обратной теореме Фалеса) и MK=(2)/(5)* BD=(2)/(5)* 10=4. Обе плоскости CMK и CBD проходят через точку C. Плоскость CBD содержит прямую BD, а плоскость CMK содержит прямую MK, параллельную BD. Значит, линия пересечения плоскостей CMK и CBD — это прямая, проходящая через C параллельно BD (а значит, и параллельно MK). Построим линейный угол двугранного угла. Пусть N — середина BD, а L — середина MK. Треугольник CBD равносторонний (CB=CD=BD=10), поэтому его медиана CN является высотой: CN BD, причём CN=(sqrt(3))/(2)* BD=(sqrt(3))/(2)* 10=5sqrt(3). Найдём CM из треугольника ACM: в нём AC=10, AM=4, а угол MAC= BAC=60^ (грань ABC — равносторонний треугольник). По теореме косинусов CM^2=AC^2+AM^2-2* AC* AM*cos 60^=100+16-2* 10* 4*(1)/(2)=76, поэтому CM=2sqrt(19). Аналогично из треугольника ACK (где AC=10, AK=4, KAC=60^) получаем CK=2sqrt(19). Значит, треугольник CMK равнобедренный (CM=CK), и его медиана CL является высотой: CL MK, причём CL=sqrt(CM^2-ML^2)=sqrt(76-2^2)=sqrt(72)=6sqrt(2). Так как CN BD и CL MK, а прямые BD и MK параллельны линии пересечения плоскостей, то оба отрезка CN и CL перпендикулярны линии пересечения. Следовательно, угол LCN — линейный угол искомого двугранного угла. Найдём длину LN. Точки M=(2)/(5)-точка ребра AB и K=(2)/(5)-точка ребра AD, поэтому их середина L лежит на медиане AN треугольника ABD (проведённой из A к середине N ребра BD), причём AL=(2)/(5)AN. В равностороннем треугольнике ABD AN=(sqrt(3))/(2)* AD=5sqrt(3), AL=(2)/(5)* 5sqrt(3)=2sqrt(3), откуда LN=AN-AL=5sqrt(3)-2sqrt(3)=3sqrt(3). Теперь в треугольнике CLN известны все стороны: CL=6sqrt(2), CN=5sqrt(3), LN=3sqrt(3). По теореме косинусов cos LCN=(CL^2+CN^2-LN^2)/(2* CL* CN)=(72+75-27)/(2* 6sqrt(2)* 5sqrt(3))=(120)/(60sqrt(6))=(2)/(sqrt(6))=(sqrt(6))/(3). Значит, косинус угла между плоскостями CMK и CBD равен (sqrt(6))/(3). Ответ: б) (sqrt(6))/(3).

б) \(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)