Задача №18044

В правильном тетраэдре $ABCD$ все рёбра равны $10\text{.}$ На рёбрах $AB$ и $AD$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $AM=AK=4\text{.}$ а) Докажите, что плоскость $CMK$ делит тетраэдр $ABCD$ на два многогранника, объёмы которых относятся как $21:4\text{.}$ б) Найдите косинус угла между плоскостями $CMK$ и $CBD\text{.}$

а) Так как все рёбра тетраэдра равны $10\text{,}$ каждая его грань — равносторонний треугольник со стороной $10\text{,}$ а двугранные углы при каждом ребре равны.

Точки $M$ и $K$ лежат на рёбрах $AB$ и $AD\text{,}$ причём $AM=AK=4\text{.}$ Плоскость $CMK$ проходит через вершину $C$ и точки $M\text{,}$ $K\text{,}$ поэтому она пересекает тетраэдр по треугольнику $CMK$ и отсекает от него тетраэдр $AMKC$ с общей вершиной $A\text{.}$ Таким образом, плоскость $CMK$ делит $ABCD$ на два многогранника: тетраэдр $AMKC$ и оставшийся многогранник $MKDBC\text{.}$

Сравним объёмы тетраэдров $AMKC$ и $ABDC$ — у них общий трёхгранный угол при вершине $A$ (рёбра идут вдоль лучей $AB\text{,}$ $AD\text{,}$ $AC$). Для двух тетраэдров с общим трёхгранным углом отношение объёмов равно произведению отношений соответствующих рёбер:

Значит, объём отсечённого тетраэдра $AMKC$ составляет $\frac{4}{25}$ объёма всего тетраэдра, а объём второго многогранника составляет

объёма тетраэдра. Следовательно, объёмы двух частей относятся как

что и требовалось доказать.

б) Найдём косинус угла между плоскостями $CMK$ и $CBD\text{.}$

Рассмотрим отрезок $MK\text{.}$ В треугольнике $ABD$ имеем $\frac{AM}{AB}=\frac{AK}{AD}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\text{,}$ поэтому $MK\parallel BD$ (по обратной теореме Фалеса) и $MK=\frac{2}{5}\cdot BD=\frac{2}{5}\cdot 10=4\text{.}$

Обе плоскости $CMK$ и $CBD$ проходят через точку $C\text{.}$ Плоскость $CBD$ содержит прямую $BD\text{,}$ а плоскость $CMK$ содержит прямую $MK\text{,}$ параллельную $BD\text{.}$ Значит, линия пересечения плоскостей $CMK$ и $CBD$ — это прямая, проходящая через $C$ параллельно $BD$ (а значит, и параллельно $MK$).

Построим линейный угол двугранного угла. Пусть $N$ — середина $BD\text{,}$ а $L$ — середина $MK\text{.}$

Треугольник $CBD$ равносторонний ($CB=CD=BD=10$), поэтому его медиана $CN$ является высотой: $CN\perp BD\text{,}$ причём

Найдём $CM$ из треугольника $ACM\text{:}$ в нём $AC=10\text{,}$ $AM=4\text{,}$ а угол $\angle MAC=\angle BAC=60^{\circ }$ (грань $ABC$ — равносторонний треугольник). По теореме косинусов

поэтому $CM=2\sqrt{19}\text{.}$ Аналогично из треугольника $ACK$ (где $AC=10\text{,}$ $AK=4\text{,}$ $\angle KAC=60^{\circ }$) получаем $CK=2\sqrt{19}\text{.}$

Значит, треугольник $CMK$ равнобедренный ($CM=CK$), и его медиана $CL$ является высотой: $CL\perp MK\text{,}$ причём

Так как $CN\perp BD$ и $CL\perp MK\text{,}$ а прямые $BD$ и $MK$ параллельны линии пересечения плоскостей, то оба отрезка $CN$ и $CL$ перпендикулярны линии пересечения. Следовательно, угол $\angle LCN$ — линейный угол искомого двугранного угла.

Найдём длину $LN\text{.}$ Точки $M=\frac{2}{5}$-точка ребра $AB$ и $K=\frac{2}{5}$-точка ребра $AD\text{,}$ поэтому их середина $L$ лежит на медиане $AN$ треугольника $ABD$ (проведённой из $A$ к середине $N$ ребра $BD$), причём $AL=\frac{2}{5}AN\text{.}$ В равностороннем треугольнике $ABD$

откуда

Теперь в треугольнике $CLN$ известны все стороны: $CL=6\sqrt{2}\text{,}$ $CN=5\sqrt{3}\text{,}$ $LN=3\sqrt{3}\text{.}$ По теореме косинусов

Значит, косинус угла между плоскостями $CMK$ и $CBD$ равен $\frac{\sqrt{6}}{3}\text{.}$

Ответ: б) $\frac{\sqrt{6}}{3}\text{.}$